SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(d) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion und berechnen Sie die
Koordinaten der Wendepunkte.
(e) Berechnen Sie noch ein paar geeignete Funktionswerte und zeichnen Sie den
Graphen von f im x-Intervall [−2;6] in der Einheit 2cm auf beiden Achsen.
(f) Wie lauten die Gleichungen der Wendetangenten und wo schneiden sie sich?
Lösung: (a) Df = R
−
f(x) =
1
3 x· 1
3 x2 −x −x = −1 9 x3 + 1
3 x2 −x für x ≦ 0
1
3 x· 1
3 x2 −x −x = 1
9 x3 − 1
3 x2 −x für x > 0
1
x ≦ 0 : −x
9 x2 − 1
3 x+1
x 2 1
= −x − +
3 2
3
= 0
4
1
x > 0 : x
9 x2 − 1
3 x−1
x 2 1
= x − −
3 2
5
= 0
4
Nullstellen bei x01 = 0 und x02 = 3
2 (1+√ 5) ≈ 4,85
lim f(x) = +∞
x→±∞
(b) f ist in ganz R stetig.
f ′
−
(x) =
1
3 x2 + 2
3 x−1 = −1
3 (x−1) 2 +2
1
3 x2 − 2
1
3 x−1 = 3 (x−1) 2 −4
für x ≦ 0
für x > 0
lim
x→0 +f′ (x) = lim
x→0−f′ (x) = −1, d.h. f ist in ganz R differenzierbar.
(c) f ′ (x) < 0 für x < 3, f ′ (3) = 0, f ′ (x) > 0 für x > 3 =⇒
relatives Minimum bei (3|−3)
(d) f ′′ (x) =
− 2
3
2
3
x+ 2
3
x− 2
3
= −2
3 (x−1) für x ≦ 0
= 2
3
(x−1) für x > 0
f ′′ (x) > 0 für x < 0 und für x > 1, f ′′ (x) < 0 für 0 < x < 1 =⇒ Wendepunkte bei
(0|0) und 1 − 11
9
(e) x −2 −1 2 4 5 6
f(x) 4,22 1,44 −2,44 −2,22 0,55 6
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