SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
27. Wir betrachten die Funktion f(x) = x2
x+1 .
(a) Berechnen Sie die Definitionsmenge Df sowie die Grenzwerte von f(x) an den
Rändern von Df.
(b) Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitung die Monotoniebereiche sowie die Koordinaten
der Punkte mit waagrechter Tangente von f.
(c) Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [−6;4] (Einheit 1cm).
(d) Beweisen Sie, dass Gf zum Punkt Z(−1 −2) symmetrisch ist.
Lösung: (a) Df = R \ {−1}, lim = ±∞, lim = ±∞
x→(−1) ± x→±∞
(b) f ′ (x) = x2 +2x
(x+1) 2, waagrechte Tangenten bei (0|0) und (−2|−4)
f streng steigend in ]−∞;−2[ und in ]0;+∞[
f streng fallend in ]−2;−1[ und in ]−1;0[
(d) f(−1+h)+2 = f(−1−h)−2
28. Wir betrachten die Funktion f(x) = 1−x
√ 1−x 2 .
(a) Berechnen Sie Df und untersuchen Sie das Verhalten von f am Rande von Df.
(b) Berechnen Sie f ′ (x) und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
Berechnen Sie die notwendigen Grenzwerte von f ′ und zeichnen Sie dann den
Graphen von f (Einheit auf der x-Achse 5cm ; Einheit auf der y-Achse 2,5cm).
Lösung: (a) Df =]−1; 1[, lim = +∞, lim = 0+
x→(−1) +f(x) x→1−f(x) (b) f ′ −1
(x) =
(1+x) √ lim
1−x 2,
x→(−1) +f′ (x) = −∞, lim
x→1−f′ (x) = −∞
29. Wir betrachten die Funktion f(x) = 1
10 (x−3)(x+1)3 .
(a) Schreiben Sie die Definitionsmenge und die Nullstellen von f hin!
Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von Df.
(b) Untersuchen Sie f auf Monotonie und Extremwerte.
f ′ ist als Produkt von Linearfaktoren darzustellen!
(c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von f und berechnen Sie die Koordinaten
der Wendepunkte.
(d) Zeichnen Sie den Graphen von f im Bereich −3 ≦ x ≦ 3,5 (Einheit 1cm).
Lösung: (a) Df = R, Nullstellen von f: x01 = −1, x02 = 3, lim f(x) = +∞
x→±∞
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