SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

• ε2 = 2ε1
1.1 bestimmtes Integral
Gib ein Beispiel für die Wahl von ε1 und ε2 an, für das I = +∞ ist.
Lösung: (a) Pol bei x0 = 0 =⇒
1
−1
dx
= lim
x2 −ε1
ε1→0 +
−1
(b) Pol bei x0 = 0 =⇒
I =
1
−1
= lim
ε1→0 +
dx
+ lim
x2 ε2→0 +
1
ε2
dx
= lim
x2 ε1→0 +
= lim
ε1→0 +
1
−1 + lim
ε1 ε2→0
+∞
+
−1+ 1
= +∞
ε2
+∞
dx
= lim
x3 −ε1
ε1→0 +
−1
− 1
2ε2 +
1
1
2
• ε2 = ε1 =⇒ I = 0
• ε2 = 2ε1 =⇒ I = lim
ε1→0 +
z.B. ε1 = 2ε2 =⇒ I = lim
ε2→0 +
7. Für welche n ist I1 =
Lösung: I1 =
∞
1
dx
= lim
xn a→∞
a
1
+∞
1
1
dx
+ lim
x3 ε2→0 +
ε2
+ lim
ε2→0 +
− 1 1
+
2 2ε2
2
1
8ε 2 1
1
2ε 2 2
dx
x n bzw. I2 =
x −n dx = lim
a→∞
dx
= lim
x3 ε1→0 +
− 1
2x2 = lim
ε2→0 +
− 1
2ε2
= lim
1
− 1
8ε 2 2
1
0
ε1→0 +
= lim
ε2→0 +
dx
endlich?
xn 1
(1−n)x n−1
a =⇒ I1 = 1
n−1 für n > 1 und I1 = ∞ für n < 1
I2 =
1
0
dx
= lim
xn a→0 +
1
a
1
− 1
−ε1 + lim
x −1 ε2→0 +
− 1
1 =
x ε2
1
2ε 2 2
− 3
3
−ε1
8ε 2 1
8ε 2 2
−1
+ lim
ε2→0 +
− 1
2x2 1 =
ε2
− lim
ε1→0 +
1
2ε 2 1
= −∞
= +∞
= 1
· lim 1−
n−1 a→∞
1
an−1
x −n dx = lim
a→0 +
x1−n 1 =
1−n a
1
· lim
1−n a→0 +
1−n
1−a
=⇒ I2 = 1
1−n für n < 1 und I1 = ∞ für n > 1
8. Berechne numerisch mit Untersummen (Su), mit Obersummen (So) und mit der
Midpoint-Rule (Sm) (n Teilintervalle). Berechne den relativen Fehler der drei Ergebnisse
und des Mittelwertes S von Su und So (genaue Ergebnisse in Klammern).
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