SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(e) g ′ (x) = f′ (x)
2 f(x)
(f) lim
x→1 ±g′ (x) = ± 1
2
2.6 Kurvendiskussion
(1−x)(1+x)
= −
|1−x|(1+x 2 ) 3
2
√
2 (Spitze von g bei x = 1)
24. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung f(x) = cosx
x− π.
2
(a) Wie lautet die Definitionsmenge von f? Berechnen Sie die Nullstellen von f im
Intervall I = [−3π, 4π].
(b) Weisen Sie nach, dass der Graph von f zur Achse x = π
symmetrisch ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Definitionslücke von f stetig geschlossen werden kann und
schreiben Sie die stetige Fortsetzung ˜ f hin.
(d) Berechnen Sie die Funktionswerte von f in der Mitte zwischen den Nullstellen
und zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall I mit Kennzeichnung der
Definitionslücke (x = π = 2cm, y = 1 = 5cm).
(e) Zeigen Sie, dass die Nullstellen von f ′ der Gleichung
cotx = 1
tanx
= π
2 −x
genügen. Bestimmen Sie graphisch die ungefähre Lage der Maxima und Minima
von f.
π
Lösung: (a) Df = R\ Nullstellen: −
2
5π 3π 5π 7π
, −3π,
−π,
, ,
2 2 2 2 2 2
(b) f
(c) lim
x→ π
2
π
2 −h
˜f(x) =
cosx
x− π
2
= cos π
2 −h
=
0
0
−h
= cos π
2 +h
π
= f
h 2 +h
de l’Hospital −sinx
= lim = −1
π
x→ 1 2
f(x) für x ∈ Df
−1 für x = π
2
79
2