SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

Lösung:
2.6 Kurvendiskussion
(c) Beweisen Sie durch Rechnung, dass der Graph von f punktsymmetrisch ist. Das
Zentrum Z(z1 z2) ist der Zeichnung zu entnehmen.
(a) f ′ (x) = −3(x2 +4x+3)
(x 2 +4x+5) 2
waagrechte Tangenten bei
(−3| −0,5) und (−1|2,5).
(c) 1−f(−2−h) = 3h
=
1+h 2
= f(−2+h)−1
23. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung
f(x) = (1−x)2
1+x 2
(a) Wie lautet die maximale Definitionsmenge von f? Untersuchen Sie f auf Nullstellen.
Berechnen Sie lim
x→±∞ f(x).
(b) Zeigen Sie, dass der Graph von f zum Punkt Z(0 1) symmetrisch ist.
(c) Berechnen Sie die Ableitung von f und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit
wie möglich. Suchen Sie die Koordinaten der Punkte mit waagrechter Tangente.
(d) Zeichnen Sie den Graphen von f im x-Intervall [−4, 4]. Verwenden Sie auf der
x-Achse die Einheit 1cm und auf der y-Achse die Einheit 2cm.
(e) Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses von Teilaufgabe (c) die Ableitung der
Funktion g mit der Gleichung g(x) = f(x) und vereinfachen Sie das Ergebnis.
(f) Untersuchen Sie das Verhalten von g ′ in der Umgebung von x = 1 und zeichnen
Sie den Graphen von g in das schon vorhandene Koordinatensystem ein.
Lösung: (a) Df = R, Nullstelle: x0 = 1, lim f(x) = 1∓
x→±∞
(b) Gf symmetrisch zu Z ⇐⇒ f(−h)−1 = 1−f(h)
(c) f ′ (x) = − 2(1−x2 )
(1+x 2 ) 2
(d)
waagrechte Tangente bei (−1|2) und bei (1|0)
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⇐⇒ f(h)+f(−h) = 2
⇐⇒ (1−h)2 (1+h)2
+ = 2
1+h 2 1+h 2
⇐⇒ 2 = 2