SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(b) N1(2|0), N2(−2|0), N3( √ 20|0), N4(− √ 20|0)
(c) Maximum bei (0|4), Minima bei (± √ 12|−3 1
5 )
16. Gegeben sind die Funktionen f+(x) = tx+ √ 25−x 2 und f−(x) = tx− √ 25−x 2 .
(a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktionen an.
(b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen f+ und f−.
(c) Zeigen Sie, dass zu jedem Punkt (x+|y+) auf dem Graphen von f+ eine dazu
punktsymmetrischen Punkt (x−|y−) auf dem Graphen von f− gibt.
(d) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f+ und f− und bestimmen sie Art
und Lage der Extrema.
(e) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktionen.
(f) Zeichnen Sie f+(x) und f−(x) für t = 2.
(g) StellenSiemiteinergeeignetenSoftwaref+(x)undf−(x)fürverschiedene Werte
von t graphisch dar.
Lösung: (a) D± = [−5,5]
(b) f+ : (− 5
√ 1+t 2 |0), f− : ( 5
√ 1+t 2 |0)
(c) f−(x) = −f+(x)
(d) f+: Maximum bei ( 5t
√ 1+t 2 |5√ 1+t 2 )
f−: Minimum bei (− 5t
√ 1+t 2 |−5√ 1+t 2 )
senkrechte Tangenten bei x = ±5
(e) f ′′
+(x) < 0, also f+ immer rechtsgekrümmt.
f ′′
−(x) > 0, also f− immer linksgekrümmt.
17. Wir betrachten die Funktion f(x) = sin2x−cosx mit Df = −π
3π ; . 2 2
Berechnen Sie die Nullstellen und die Punkte mit waagrechter Tangente. Zeichnen
Sie Gf.
Lösung: Nullstellen: − π
2
, π
6
, π
2
5π 3π
, ,
6 2
f ′ (x) = 2 cos2x+sinx = −4 sin 2 x+sinx+2 = 0 =⇒
sinx = 1
8 ±
√ 33
8
Waagrechte Tangenten bei −0,202π, 0,319π, 0,681π und 1,202π.
18. Gegeben ist die Funktion f(x) = ax 3 +bx 2 +x mit a > 0 und D = R.
(a) Geben Sie die Nullstellen der Funktion an.
Für welche Werte a erhält man drei, zwei bzw. eine Nullstelle?
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