SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
auf Nullstellen, Verhalten an den Rändern von Df, Monotonie, Extremwerte und
Wendepunkte. Zeichne die Grafen von f, f ′ und f ′′ im Intervall [0,9;6] in ein Diagramm.
Veranschauliche die Zusammenhänge zwischen den Nullstellen der Ableitungsfunktionen
und den besonderen Stellen im Grafen von f.
Lösung: Einzige Nullstelle bei x0 = 1.
−∞
lim =
x→0 +f(x) 0 +
= −∞
∞
lim f(x) =
x→+∞ ∞
20
x = lim = lim
x→+∞ 2x x→+∞
10
= 0+
x2 f ′ (x) = 20(1−2lnx)
x3 , f ′′ (x) = 20(−5+6lnx)
x4 , f ′′′ (x) = 40(13−12lnx)
x5 f ′ (x) = 0 =⇒ x0 = √ e, f ′ (x) > 0 =⇒ x < √ e =⇒
f streng steigend in ]0; √ e[ und f streng fallend in ] √ e;+∞[ =⇒
√e 10
Hochpunkt bei H ≈ H(1,65 3,68)
e
f ′′ (x) = 0 =⇒ x0 = e 5
6, f ′ (x) > 0 =⇒ x > e 5
6 =⇒
f rechtsgekrümmt in ]0;e 5
6[ und f linksgekrümmt in ]e 5
6;+∞[ =⇒
Wendepunkt bei W e 5
6
y
4
3
2
1
0
−1
−2
1
2
WP
71
3
50
3 e−5
3 ≈ H(2,30 3,15)
f
f ′′
4 5 6
x
f ′