SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

f(x) = x 2 ·e 1−x
f ′ (x) = 2xe 1−x −x 2 e 1−x = x(2−x)e 1−x
2.6 Kurvendiskussion
f ′′ (x) = 2e 1−x −2xe 1−x −2xe 1−x +x 2 e 1−x = (2−4x+x 2 )e 1−x
f ′′′ (x) = −2e 1−x −4e 1−x +4xe 1−x +2xe 1−x −x 2 e 1−x = (−x 2 +6x−6)e 1−x
f ′ (x) = 0 =⇒ x11 = 0, x12 = 2, f ′′ (x) = 0 =⇒ x21 = 2− √ 2, x22 = 2+ √ 2
Da der Graf von x(2−x) eine nach unten geöffnete Parabel ist, folgt
f ′ (x) < 0 für x < 0 und x > 2, f ′ (x) > 0 für 0 < x < 2 =⇒
f streng fallend in ]−∞;0[ und ]2;+∞[, f streng steigend in ]0;2[.
f ′ (x11) = 0 und f ′′ (x11) = 2e > 0 =⇒ Tiefpunkt bei T(0 0)
f ′ (x12) = 0 und f ′′ (x12) = −2e −1 < 0 =⇒ Hochpunkt bei T
2 4
e
Da der Graf von 2−4x+x 2 eine Parabel ist, liegt bei den Nullstellen von f ′′ ein Vorzei-
chenwechsel vor, d.h. Wendepunkte bei
W1 2− √
2
0,59
(2−√2) 2 e −1+√
2
0,52
Alternativ über dritte Ableitung:
und W2
2+ √
2
3,41
(2+√2) 2 e −1−√
2
1,04
f ′′′ (x21) = −2 √ 2e −1+√ 2 = 0 und f ′′′ (x22) = 2 √ 2e −1−√ 2 = 0
−1
y6
5
4
3
2
1
W1
11. Untersuche die Funktion f mit
T
1
H
2
3
W2
f(x) = 20lnx
x 2 , Df = R +
70
4
5
6
x