SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
f ′ (x) = 0 =⇒ x11 = 2
3 , x12 = 4, f ′′ (x) = 0 =⇒ x21 = 7
3
Da der Graf von f ′ eine nach oben geöffnete Parabel ist, folgt f ′ (x) > 0 für x < 2
3 und
x > 4, f ′ (x) < 0 für 2
< x < 4 =⇒
f streng steigend in
3
−∞; 2
3
2
und ]4;+∞[, f streng fallend in
3 ;4
.
f ′ (x11) = 0 und f ′′ (x11) = − 5
< 0 =⇒ Hochpunkt bei H
2
f ′ (x12) = 0 und f ′′ (x12) = 5
2
2
3
> 0 =⇒ Tiefpunkt bei T(4 −3)
f ′′ (x21) = 0 und f ′′′ (x21) = 3
= 0 =⇒ Wendepunkt bei W
2
−1
y
2
1
−1
−2
−3
−4
10. Untersuche die Funktion f mit
H
1
7
3
44
27
2 3 4 5 6
x
W
T
f(x) = x2
e x−1, Df = R
37
−
54
auf Symmetrie, Nullstellen, Verhalten an den Rändern von Df, Monotonie, Extremwerte
und Terrassenpunkte. Zeichne den Grafen von f im Intervall [−1;6].
Lösung: Einzige Nullstelle bei x0 = 0.
∞
lim f(x) =
x→−∞ 0 +
= +∞
∞
2x
∞
lim f(x) = = lim = = lim
x→+∞ ∞ x→+∞ ex−1 ∞ x→+∞
69
2
= 0+
ex−1