SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
f ′ (x) = x 3 −4x = x· x 2 −4 , f ′′ (x) = 3x 2 −4, f ′′′ (x) = 6x
f ′ (x) = 0 =⇒ x11 = 0, x12 = −2, x13 = 2
f ′′ (x) = 0 =⇒ x21 = 0, x22 = − 2
3
√ 3, x23 = 2
3
f ′ (x11) = 0 und f ′′ (x11) = −4 < 0 =⇒ Hochpunkt bei H(0 0)
f ′ (x13) = 0 und f ′′ (x13) = 8 > 0 =⇒ Tiefpunkte bei T1,2(±2 −4)
f ′′ (x22) = 0 und f ′′′ (x22) = 4 √ √
2 20
3 = 0 =⇒ Wendepunkte bei W1,2 ± 3 3 − 3
f(x) = −2 =⇒ x 4 −8x 2
= −2 hat die vier Lösungen x = ± 4±2 √ 2.
−3
−2
9. Untersuche die Funktion f mit
T1
W1
−1
y
2
1
−1
−2
−3
−4
H
1
√ 3
W2
2 3
x
f(x) = 1
4 x3 − 7
4 x2 +2x+1, Df = R
auf Nullstellen, Verhalten an den Rändern von Df, Monotonie, Extremwerte und
Wendepunkte. Zeichne den Grafen von f im Intervall [−1;6].
Lösung: f(x) = 0 =⇒ x01 = 2 (durch Probieren)
f(x) : (x−2) = 1
4 x2 − 5 1
x−
4 2 =⇒ x02,3 = 5 1√
± 33
2 2
x3 lim f(x) = lim
x→±∞ x→±∞ 4 ·
1− 7 8 4
+ +
x x2 x3
= ±∞
→1
f ′ (x) = 3
4 x2 − 7
2 x+2, f′′ (x) = 3 7
x−
2 2 , f′′′ (x) = 3
2
68
T2