SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(c) Zu zeigen ist g ′ (x) = f(x) und g(0) = 0 (Untergrenze).
g ′ (x) = −e −x −(x+1)(−e −x ) = −e −x +xe −x +e −x = xe −x = f(x)
(d) g ′ (x) = f(x) =⇒ xg1 = xf0 = 0
g ′′ (x) = f ′ (x) =⇒ xg2 = xf1 = 1
g ′′ (0) = f ′ (0) = 1 > 0 =⇒
TP bei (0|0)
g ′′′ (1) = f ′′ (1) = −1 e = 0 =⇒
WP bei 1 1
e
(e) lim g(x) = 1− lim
x→+∞ x→+∞
g(0) = 1−(0+1)e 0 = 1−1 = 0
x+1
= 1−0 = 1
ex Die Fläche zwischen Gf und der x-Achse im Intervall [0,+∞[ ist 1.
Gg hat die waagrechte Asymptote y = 1.
7. Untersuche die Funktion f mit
f(x) = x4
8
−1
y2
1
−1
− x3
2 , Df = R
Nullstellen, Verhalten an den Rändern von Df, Monotonie, Extremwerte und Wendepunkte.
Zeichne den Grafen von f im Intervall [−2;4,5].
Für welche x-Werte gilt f(x) = −2?
Lösung: f(x) = x3
8 ·(x−4) = 0 =⇒ x01 = 0, x02 = 4
x3 lim f(x) = lim
x→−∞ x→−∞ 8 ·(x−4)
= ((−∞)·(−∞)) = +∞
x3 lim f(x) = lim
x→+∞ x→+∞ 8 ·(x−4)
= ((+∞)·(+∞)) = +∞
f ′ (x) = x3 3x2 x2
− =
2 2 2 ·(x−3), f′′ (x) = 3x2 3x
−3x =
2 2 ·(x−2)
f ′ (x) = 0 =⇒ x11 = 0, x12 = 3, f ′′ (x) = 0 =⇒ x21 = 0, x22 = 2
f ′ (x) > 0 für x > 3 und f ′ (x) ≦ 0 für x ≦ 3 =⇒
f streng fallend in ]−∞;3[ und f streng steigend in ]3;+∞[.
f ′ (x12) = 0 und f ′′ (x12) = 9
2 > 0 =⇒ Tiefpunkt bei T3 27
8
f ′′′ (x) = 3x−3 = 3(x−1)
f ′ (x11) = 0 und f ′′ (x11) = 0 und f ′′ (x11) = −3 = 0 =⇒ Terrassenpunkt bei F(0 0)
66
1
2
x