SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

5. Wir betrachten die Funktion f mit
2.6 Kurvendiskussion
f(x) = 1
+lnx, D = R+
x
(a) Berechne lim f(x). lim
x→∞ +f(x)
= +∞darf für dasWeitere vorausgesetzt werden.
x→0
(b) Untersuche f auf Extremwerte und Wendepunkte und zeichne den Grafen von
f im x-Intervall ]0;5] (Einheit 2cm).
(c) Eine weitere Funktion ist g mit
g(x) =
x
1
f(t)dt
Schreibe g(x) in einer integralfreien Darstellung. Welche Nullstelle hat g?
(d) A1 ist der Inhalt der Fläche, die von Gf, der x-Achse und den Geraden x = 1
2
und x = 1 eingeschlossen wird, A2 dagegen wird von Gf, der x-Achse und den
Geraden x = 1 und x = 2 eingeschlossen. Berechne A1 und A2 mit Hilfe der
Funktion g und berechne exakt das Verhältnis der beiden Flächeninhalte.
Lösung: (a) lim f(x) = (0+∞) = +∞
x→∞
(b) f ′ (x) = − 1 1 x−1
+ =
x2 x x2 f ′ (x) = 0 =⇒ x1 = 1
f ′′ (x) = 2 1 2−x
− =
x3 x2 x3 f ′′ (x) = 0 =⇒ x2 = 2
f ′′ (1) = 1 > 0 =⇒ TP bei (1|1)
f ′′′ (x) = − 6 2 2x−6
+ =
x4 x3 x4 f ′′′ (2) = − 1
= 0 =⇒
8
WP bei 2 1
2 +ln2 ≈ (2|1,19)
(c) g(x) =
(d) A1 =
g x
1
y
2
1
0
1
t +lnt
dt = [lnt+t(lnt−1)] x
1 = lnx+x(lnx−1)−ln1−1·(ln1−1)
1
=
2
1
2
g(x) = 1−x+(1+x)lnx mit g(1) = 0
+ 3
2
1
ln
2
=
1 3
−
2 2 ln2
A1
= ln8−1
2
A2 = g(2) = −1+3ln2 = ln8−1 = 2A1 =⇒ A2
64
A1
1
A2
≈ 0,53972
= 2
2
f
x