SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(c)
4. Die beiden Funktionen f und g mit
f(x) = 1 2
−
x2 x
2.6 Kurvendiskussion
|f(x)−g(x)| = 1
3 ln
1+ 1
x3
< 1
100
1
x3 < e0,03 −1
1
x > 3√ ≈ 3,2
e0,03 −1
und g(x) =
x
1
2
f(t)dt, Df = Dg = R +
schließen ein endliches Flächenstück mit dem Inhalt A ein. Diskutiere die beiden
Funktionen, zeichne ihre Grafen und berechne A.
Lösung: Diskussion von f:
Nullstelle: xf0 = 1 1
, lim f(x) = lim
2 x→∞ x→∞ x ·
lim = lim
x→0 +f(x) x→0 +
1
x ·
1
x −2
= (0 + ·(−1)) = 0 −
1
x −2
= ((+∞)·(+∞)) = +∞
f ′ (x) = − 2 2 2x−2
+ =
x3 x2 x3 , f ′ (x) = 0 =⇒ xf1 = 1
f ′′ (x) = 6 4 6−4x
− =
x4 x3 x4 , f ′′ (x) = 0 =⇒ xf2 = 3
2
f ′′ (xf1) = 2 > 0 =⇒ Tiefpunkt bei (1| −1).
g(x) =
Diskussion von g:
x
1
2
f ′′′ (x) = − 24 12
+
x5 4
x 5
3 = 12x−24
f ′′′ (xf2) = − 64
= 0 =⇒ WP bei
81
1 2
− dt = −
t2 t
1
t −2lnt
x 1
2
g(x) = 2(1−ln2)− 1
x −2lnx
3
2
8
−
9
= − 1 1
−2lnx+2+2ln
x 2
Untere Grenze der Integralfunktion ist Nullstelle: xg0 = 1
, lim g(x) = +∞
2 x→∞
lim = lim
x→0 +xlnx x→0 +
lnx
1 = lim
x→0
x
+
1
x
− 1
x2 62
= − lim = 0−
x→0 +x