SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

Lösung: (a) f(x) =
(b)
f ′ (x)dx =
f(0) = C = 1 =⇒ C = 1
2.6 Kurvendiskussion
1
3 ·(x3 +1) ′
x3 dx =
+1
1
3 ln(x3 +1)+C
f(x) = 1
3 ln(x3 +1)+1
f(x) = 0 =⇒ x0 = − 1−e −31
3 ≈ −0,983121
Definitionsmenge: x 3 +1 > 0 =⇒ Df =]−1;+∞[
lim = −∞, lim f(x) = +∞
x→(−1) +f(x) x→∞
f ′ (x) = 0 =⇒ x1 = 0
In ganz Df gilt f ′ (x) ≧ 0, f istalso in ganz Df monoton steigend. AlsoTerrassenpunkt
bei T(0 1).
f ′′ (x) = 2x(x3 +1)−x 2 ·3x 2
(x 3 +1) 2
f ′′ (x) = 0 für x21 = 0 und x22 = 3√ 2.
= x(2−x3 )
(x 3 +1) 2
−1 < x < x21 x21 < x < x22 x22 < x
x − + +
2−x 3 + + −
f ′′ (x) − + −
AlsoVZWvonf ′′ beix21 undx22,d.h.WendepunktebeiT(0 1)undW 3 √ 2 1
3 ln3+1 .
−1
f(x)−g(x) = 1
3 lnx 3 +1 −lnx = 1
3 lnx 3 +1 − 1
3 lnx3 =
= 1
3 ln x3 +1 1
=
x3 3 ln
1+ 1
x3
1
lim |f(x)−g(x)| = · lim
x→∞ 3 x→∞ ln
y
3
2
1
T
g
f
1
W
61
2
1+ 1
x 3
= 1
·ln1 = 0
3
3 4 5
x