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2.6 Kurvendiskussion
Untersuche f zunächst auf Symmetrie, berechne dann die Nullstellen und die Grenzwerte
für x → ±∞ und ermittle die Koordinaten der relativen Extremwerte und der
Wendepunkte. Zeichne den Grafen von f im Intervall [−6;6].
Lösung: f(−x) = f(x) =⇒ Symmetrie zur y-Achse
f(x) = 0 =⇒ e −x2
8 = 1
3,3
=⇒ −x2
8
x0 = ±2 2ln3,3 ≈ ±3,09
lim f(x) = 1−
x→±∞
f ′ (x) = 33
40 ·xe−x2 8
f ′′ (x) = 33
1−
40
x2
4
e −x2
8
f ′ (0) = 0 und f ′′ (0) > 0 =⇒ Tiefpunkt bei T(0 −2,3)
f ′′ (x) = 0 =⇒ x2 = ±2
f ′′′ (x) = 33
−
40
3x
x3
+ e
4 16
−x2
8 = 33
−3+
160
x2
4
1
= ln = −ln3,3
3,3
xe −x2
8
f ′ (±2) = 0 und f ′′′
(±2) = 0 =⇒ Wendepunkte bei W1,2 ±21−
3,3
√
e
≈−1,00
−6
−5
−4
−3
3. Von der Funktion f ist bekannt:
−2
−1
y
1
−1
−2
f ′ (x) = x2
x 3 +1
1 2 3 4 5 6
x
und f(0) = 1
(a) Diskutiere f (Nullstellen, Grenzwerte, Extremwerte, Wendepunkte, Graf).
(b) Zeige, dass sich der Graf von f für große x beliebig nahe an den Grafen von g
mit g(x) = 1+lnx annähert. Zeichne den Grafen von g in das schon vorhandene
Diagramm ein.
(c) Für welche x unterscheidet sich g(x) um weniger als ein Hundertstel von f(x)?
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