SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(e) f = 1
b
b−0
0
1.1 bestimmtes Integral
cosxdx = 1
b [sinx]b
sinb 1
0 = =
b 2
Die Gleichung sinb 1
b = 2 ist nur numerisch lösbar, z.B. mit
dem Newtonverfahren oder einfach durch Ausprobieren mit
dem TR: b ≈ 1,895.
3. Ein Stein wird vom Boden aus (y = 0) mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 senkrecht
nach oben geworfen. Für seine Höhe y in Abhängigkeit von der Zeit t gilt
y(t) = v0t− g
2 t2
Berechne die mittlere Höhe h während der Flugphase, ausgedrückt durch die maximale
Höhe h.
Lösung: y(t) = t v0 − gt
= 0 =⇒ t =01= 0, t02 =
2
2v0
g
Maximale Höhe zur Zeit t1 = t02
2
h =
4. (a)
1
t02
t02 −t01
t01
3 √ xdx (b)
v0t− g
2 t2 = g
2v0
∞
R
dx
x 2
= v0
g : h = y(t1) = v2 0
2g
v0t 2
2
g
−
6 t3
2v0 g
0
= v2 0
3g
= 2
3 h
(c) Berechne den Mittelwert von f(x) = xn (n > 0) im Intervall [0,a].
√3 Lösung: (a) xdx = x 1
3 dx = x43
+C = 3x43
3 3√
+C = x4 +C
4 4
(b)
∞
R
dx
= lim
x2 a→∞
(c) f = 1
a
a
0
a
R
4
3
x −2 dx = lim
a→∞
x n dx = 1
xn+1 a n+1
a
0
− 1
a
= lim −
x a→∞
R
1
1
+ =
a R
1
R
= an+1 an
=
a(n+1) n+1
5. Berechne folgende Integrale und veranschauliche sie als Flächeninhalte:
(a)
1
0
dx
√ x
(b)
∞
1
dx
√ x
(c)
1
0
6
dx
x 2
(d)
∞
1
dx
x 2
1
1
2
y
π
2
b
x