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2.6 Kurvendiskussion
2.6 Kurvendiskussion
2.6.1 Diskussion einzelner Funktionen
1. Wir betrachten die Funktion f mit
f(x) = cos3x sin2x (a) Berechne f(x) für x ∈
π π π 2π 5π , , , , und zeichne den Grafen von f im x-
6 3 2 3 6
Intervall
π 5π , . Einheiten: 2cm auf der y-Achse, π =6cm auf der x-Achse.
6 6
(b) Beweise: f(x)dx = −sinx− 1
sinx +C
(c) Berechne die Fläche, die von Gf, der x-Achse und den beiden Geraden x = π
6
und x = 5π eingeschlossen wird.
6
Lösung: (a) x f(x)
π
6
3√
3 ≈ 2,60
2
π
3
1
≈ 0,167
6
π
2
0
2π
3
− 1
≈ −0,167
6
5π
6 −3
√
3 ≈ −2,60
2
(b) d
−sinx−
dx
1
sinx +C
= −cosx− −cosx
sin2x (c) Nullstelle von f bei x0 = π
2
A =
π
2
π
6
f(x)dx−
π
2
5π
6
y
2
1
0
−1
−2
= cosx
5π
und f(x) < 0 für x ∈]π 2 , 6 ]:
f(x)dx =
−sinx− 1
sinx
π
2
= −1−1+ 1
2 +2−(−1
1 1
−2+1+1) = + = 1
2 2 2
2. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung
f(x) = 1−3,3·e −x2
8 .
59
π
6
π
3
cos 2 x
π
6
(1−sin 2 x)
sin 2 x
π
2
= cos3 x
sin 2 x
− −sinx− 1
sinx
2π
3
5π
6
π
2
=
5π
6
x