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2.5 Wirtschaft
8. Nach dem Einkommensteuergesetz §32a der Bundesrepublik Deutschland (1997) beträgt
die Einkommensteuer
Lösung: (a)
bis 12 095 DM (Grundfreibetrag) 0 DM.
von 12 096 DM bis 55 727 DM in DM: (86,63·y +2590)·y
von 55 728 DM bis 120 041 DM in DM: (151,91·z +3346)·z +12949
von 120 042 DM an in DM: 0,53·x−22842
y ist ein Zehntausendstel des 12 042 DM übersteigenden Teils des abgerundeten zu
versteuernden Einkommens.
z ist ein Zehntausendstel des 55 674 DM übersteigenden Teils des abgerundeten zu
versteuernden Einkommens.
x ist das abgerundete zu versteuernden Einkommen.
Das zu versteuernde Einkommen ist auf den nächsten durch 54 ohne Rest teilbaren
Betrag abzurunden, wenn es nicht bereits durch 54 ohne Rest teilbar ist.
(a) Geben Sie die im Einkommensteuergesetz definierte Funktion ohne Berücksichtigung
der Rundungsregel als intervallweise definierte Funktion f(x) auf R + 0
in Abhängigkeit vom zu versteuerndem Einkommen x in DM an. Wählen Sie
folgende Intervallgrenzen: < 12096, < 55728 und < 120042.
(b) Untersuchen Sie f und die dem Gesetz exakt entsprechende Funktion g auf
Stetigkeit.
(c) Zeichnen Sie f und die im Einkommensteuergesetz definierte Funktion g für
x < 12800.
(d) Stellen Sie die Funktion f mit einer geeigneten Software für x < 150000 graphisch
dar.
(e) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f.
(f) Stellen Sie f ′ mit einer geeigneten Software für x < 150000 graphisch dar und
interpretieren Sie das Diagramm.
⎧
⎪⎨
0 falls x < 12096
86,63·10
f(x) =
⎪⎩
−8x2 +0,238136x −2993,26 falls 12096 ≤ x < 55728
151,91·10 −8x2 +0,165451x −970,93 falls 55728 ≤ x < 120042
0,53x−22842 falls x ≥ 120042
(b) f(x) ist unstetig für x = 12096, x = 55728 und x = 120042, sonst stetig.
g(x) ist unstetig für 12096+k ·54 mit k ∈ Z0, sonst stetig.
(e)
f ′ ⎧
⎪⎨
0 falls x < 12096
173,26·10
(x) =
⎪⎩
−8x+0,238136 falls 12096 < x < 55728
303,82·10 −8x+0,165451 falls 55728 < x < 120042
0,53 falls x > 120042
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