SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.5 Wirtschaft
Ermitteln Sie den maximal möglichen Gewinn der Firma. Bei welcher Stückzahl x0
und bei welchem Verkaufspreis n(x0) wird der maximale Gewinn erzielt?
Lösung: Gewinn: G(x) = x·n(x)−K(x) = −10 −8 ·x 3 −0,003x 2 +132x
G ′ (x) = −3·10 8 x 2 −0,006x+132 = 0 =⇒ x0 = 20000 (x0 = −220000)
n(x0) = 212, G(x0) = 1,36·10 6
6. Die Produktionskosten pro Stück KD(x) = K(x)
eines Unternehmens hängen von
x
der Menge der produzierten Ware x ab.
(a) Berechnen Sie für folgenden Kostenfunktionen die Menge x, für die die Kosten
pro Stück minimal sind. Geben Sie die minimalen Produktionskosten pro Stück
an.
i. K(x) = 300+3x 2 +20x
ii. K(x) = 70+2x+0,8x 2
(b) Zur Bestimmung des Minimums der Produktionskonsten pro Stück verwendet
man häufig die Grenzkosten K ′ (x). Zeigen Sie, dass K ′ (x) die Funktion KD(x)
in einem Punkt mit waagrechter Tangente schneidet.
Welche weitere Bedingung muss erfüllt sein, damit die Produktionskosten pro
Stück ein Minimum haben?
(c) Berechnen Sie für folgende Kostenfunktionen die Menge x, für die die Kosten
pro Stück minimal sind. Geben Sie die minimalen Produktionskosten pro Stück
an.
i. K(x) = 20+3x+x 2 +x 3
ii. K(x) = 144+2x+x 2 + 5
2 x3
iii. K(x) = 350+5x+4x 2 +x 3
Lösung: (a) KD(x) nach x ableiten und gleich Null setzen liefert zwei Lösungen, von denen nur
eine sinnvoll ist. Für diesen Wert ist K ′′ D > 0.
i. x = 10,KD(10) = 80
ii. x = 9,4,KD(9,4) = 17
(b) KD(x) ′ = K(x)′
x
K(x)
− x2 = K(x)′ −KD(x)
x = 0 ⇔ K(x) ′ = KD(x).
Minimum, wenn KD(x) ′′ = ... = K(x)′′
x
(c) K(x) ′ = KD(x) verwenden! Die Gleichung kann durch raten gelöst werden.
i. x = 2,KD(2) = 19
ii. x = 3,KD(3) = 75,5
iii. x = 5,KD(5) = 120
56
> 0