SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(g)
Preiserhöhung Preissenkung
ε > −1 ε < −1
i ]71 7 ;∞[ ]0;71 7 [
ii ]4 8
23 ;∞[ 8 ]0;4 23 [
iii ] 131
3 ;∞[ ]0; 131 3 [
iv
970 ] 39 ;∞[
970 ]0; 39 [
v - R +
vi R + -
2.5 Wirtschaft
4. Die Produktionskosten K(x) und der Umsatz U(x) = x · n(x) eines Unternehmens
hängen von der Nachfrage x auf dem Markt ab. n(x) ist der Nachfragepreis einer
Ware.
(a) Leiten Sie eine Gleichung zur Berechnung des maximal möglichen Gewinns her.
Deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
(b) Berechnen Sie für folgende Fälle den maximal möglichen Gewinn. Geben Sie
jeweils den Preis der Ware im Gewinnmaximum an.
i. n(x) = 500+ 120,
K(x) = 300+20x+3x2
x
ii. n(x) = 60+ 4000,
K(x) = 70+2x+0,4x2
x
iii. n(x) = 100−60x, K(x) = 3+10x−2x 2 +0,2x3 iv. n(x) = 500−12x, K(x) = 300+20x−x 2 +0,1x 3
Lösung: (a) U(x) = xn(x) ⇒ Maximum des Gewinns G(x) = U(x) − K(x) ⇔ G ′ (x) = 0 =
U ′ (x)−K ′ (x) und G ′′ (x) = U ′′ (x)−K ′′ (x) < 0;
Maximum des Gewinns, wenn G(x) eine waagrechte Tangente hat.
(b) i. G ′ (x) = 480−6x,G ′′ (x) = −6 < 0 ⇒ Maximum für x = 80, G(80)=19020, Preis
n(x) = 501,5
ii. G ′ (x) = 58−0,8x,G ′′ (x) = −0,8 < 0 ⇒ Maximum für x = 72,5, G(72,5)=6032,5,
Preis n(x) = 115
iii. G ′ (x) = 90 − 116x − 0,6x 2 ,G ′′ (x) = −116 − 1,2x ⇒ Maximum für x = 0,77
(die zweite Lösung der Gleichung ist nicht sinnvoll, da < 0!), G(0,77)=32, Preis
n(x) = 54
iv. G ′ (x) = 480−22x−0,3x 2 ,G ′′ (x) = −22−0,6x ⇒ Maximum für x = 17,596 ≈ 17,6
(die zweite Lösung der Gleichung ist nicht sinnvoll, da < 0!), G(17,6)=4195, Preis
n(x) = 289
5. Eine Elektronikfirma produziert Walkmans. Die Produktionskosten von x Geräten
werden durch die Funktion K(x) = 10 −8 · x 3 − 0,003x 2 + 200x beschrieben. Der
Nachfragepreis des Gerätes (in €) wurde zu n(x) = 332−0,006·x ermittelt, d.h. bei
einem Verkaufspreis von n(x) pro Stück sind x Leute bereit, das Gerät zu kaufen.
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