SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.5 Wirtschaft
vi. n(x) = 5000
x −130.
(e) Zeigen Sie, dass der Umsatz U(x) = x · n(x) bei fallendem Preis steigt, wenn
die Elastizität ε der Nachfragefunktion kleiner als −1 ist. Überlegen Sie dazu,
wie sich ein fallender Preis auf die Nachfrage x auswirkt.
(f) Wie kann der Umsatz erhöht werden, wenn die Elastizität ε der Nachfragefunktion
größer als −1 ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
(g) Geben Sie für die Nachfragefunktionen aus Teilaufgabe (d) die Bereiche an,
in denen der Umsatz durch Preissteigerung- bzw. Preissenkung erhöht werden
kann.
Lösung: (a) Bei lebensnotwendigen Gütern wird sich die Nachfrage weniger verändern, als bei Luxusgütern.
(b) Betrachtet man z. B. die Nachfragefunktion einer Ware, ist klar, dass eine Preisänderung
von 5 DM bei einem Auto eine andere Bedeutung hat, als bei einem kg Butter.
Im Vergleich zum Preis eines Autos sind 5 € zu vernachlässigen und damit hat die
Preisänderung praktisch keine Auswirkung. Bei einem kg Butter hingegen haben 5
€ eine Bedeutung. Damit ist es nicht sinnvoll die Auswirkung als Preisänderung pro
Änderung der Nachfrage anzugeben, sondern zu relativen Größen überzugehen.
(c)
(d) i. ε(x) = 1− 100
7x
ii. ε(x) = 1− 200
23x
iii. ε(x) = 1 20
2 − x2 iv. ε(x) = 1
2
ε(x) = lim
∆x→0
− 485
13x 2
∆x
x
n(x+∆x)−n(x)
n(x)
= lim
∆x→0
n(x)
x n(x+∆x)−n(x)
∆x
= n(x)
xn ′ (x)
v. ε(x) = −1− 1
2 x
vi. ε(x) = −1+ 13
500 x
(e) Preis fällt ⇒ Nachfrage x steigt.
U ′ (x) = n(x)+xn ′ (x) > 0 ⇔ ε(x) = n(x)
xn ′ (x) < −1, da n′ (x) < 0 und x > 0!
(f) ε(x) > −1 ⇔ n(x)
xn ′ (x) > −1 ⇔ n(x) < −xn′ (x), da n ′ (x) < 0 ⇔ U ′ (x) = n(x)−xn ′ (x) <
0. Also ist U(x) monoton fallend. Eine Preiserhöhung reduziert die Nachfrage x und
erhöht damit den Umsatz.
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