SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.5 Wirtschaft
(e) f ′ ⎧
⎨
4x+2xsin
(x) =
⎩
1 1
−cos für x = 0
x x
0 für x = 0
, aber lim
x→0 f ′ (x) existiert nicht.
f ist in ganz R differenzierbar, aber f ′ ist bei x = 0 unstetig!
Da xsin 1
1
für |x| ≪ 1 gegen cos
x x vernachlässigt werden kann, wechselt f′ in jeder
noch so kleinen Umgebung von 0 unendlich oft das Vorzeichen!
2.5 Wirtschaft
1. Eine Elektronikfirma produziert Walkmans. Die Produktionskosten von x Geräten
werden durch die Funktion K(x) = 10 −8 · x 3 − 0,003x 2 + 200x beschrieben. Der
Nachfragepreis des Gerätes (in €) wurde zu n(x) = 332−0,006·x ermittelt, d.h. bei
einem Verkaufspreis von n(x) pro Stück sind x Leute bereit, das Gerät zu kaufen.
Ermitteln Sie den maximal möglichen Gewinn der Firma. Bei welcher Stückzahl x0
und bei welchem Verkaufspreis n(x0) wird der maximale Gewinn erzielt?
Lösung: Gewinn: G(x) = x·n(x)−K(x) = −10 −8 ·x 3 −0,003x 2 +132x
G ′ (x) = −3·10 8 x 2 −0,006x+132 = 0 =⇒ x0 = 20000 (x0 = −220000)
n(x0) = 212, G(x0) = 1,36·10 6
2. In einer Marktwirtschaft wird der Preis einer Ware durch Angebot und Nachfrage
bestimmt. In Modellen zur Beschreibung marktwirtschaftlicher Mechanismen spricht
man vom Angebotspreis, den der Anbieter verlangt und vom Nachfragepreis, den
der Käufer bereit ist zu zahlen. Oft werden Angebotspreis und Nachfragepreis durch
Funktionen a(x) und n(x) beschrieben. x ist dabei die Nachfrage.
(a) Wie hängen Angebotspreis und der Nachfragepreis mit der Nachfrage x zusammen?
Was bedeutet dies für das Monotonieverhalten von a(x) bzw. n(x)? Wie
erhält man den Verkaufspreis einer Ware?
(b) Bestimmen Sie den Verkaufspreis einer Ware graphisch und rechnerisch für
i. a(x) = 20 √ x und n(x) = 100−7x.
ii. a(x) = 15 √ x und n(x) = 200−23x.
iii. a(x) = 20x+50 und n(x) = 200−5x 2 .
iv. a(x) = 200x+300 und n(x) = 970−13x 2 .
v. a(x) = 30x+100 und n(x) = 400
x +200.
vi. a(x) = 7x+200 und n(x) = 5000
x −130.
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