SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
(a) Berechnen Sie alle x0k mit f(x) = 2x 2 , alle x1k mit f(x) = 3x 2 sowie alle x2k
mit f(x) = x 2 und zeichnen Sie dann die Graphen von x 2 , 2x 2 , 3x 2 und f mit
den Einheiten 0,1 =4cm auf der x-Achse und 0,01 =1cm auf der y-Achse im
Bereich −0,2 < x < 0,2.
(b) Zeigen Sie, dass f bei x = 0 stetig ist und dort ein absolutes und relatives
Minimum besitzt.
(c) Berechnen Sie f ′ (x) für x = 0.
(d) Berechnen Sie f ′ (0) mit der Definition der Ableitung.
(e) Zeigen Sie, dass f ′ bei x = 0 unstetig ist und in jeder noch so kleinen Umgebung
von 0 unendlich oft das Vorzeichen wechselt.
Lösung: (a) x00 = 0, x0k = 1
kπ
x1k =
x2k =
1
(0,5+2k)π
1
(1,5+2k)π
für k = 0
(b) x 2 ≦ f(x) ≦ 3x 2 =⇒ lim
x→0 x 2 ≦ lim
x→0 f(x) ≦ lim
x→0 3x 2 =⇒
lim f(x) = 0 = f(0), d.h. f ist stetig bei x = 0.
x→0
k x0k x1k x2k
0 0,000 0,637 0,212
1 0,318 0,127 0,091
2 0,159 0,071 0,058
3 0,106 0,049 0,042
4 0,080 0,037 0,034
5 0,064 0,030 0,028
6 0,053 0,025 0,024
7 0,045 0,022 0,021
f(x) > 0 für alle x = 0 und f(0) = 0 =⇒ absol. und rel. Min. bei (0|0).
(c) f ′ (x) = 4x+2xsin 1 1
−cos
x x
(d) f ′ (0) = lim
h→0
h 2 2+sin 1
h
h
−0
= 0
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