SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
(c) Gib die Teilintervalle an, in denen die Sinuskurve eine Linkskurve und die Kosinuskurve
eine Rechtskurve ist.
15. Beweisen Sie: Ist x1 Nullstelle des Polynoms P(x) und gilt P ′ (x1) = 0,
dann ist x1 eine r-fache Nullstelle mit r ≧ 2.
Lösung: P(x) = (x−x1) r ·P1(x) mit P1(x1) = 0
Hinweis: Schreiben Sie P(x) als Produkt und differenzieren
Sie.
P ′ (x) = (x−x1) r−1 ·P1(x)+(x−x1) r ·P ′ 1 (x)
Da der zweite Summand von P ′ für x = x1 null ist, muss es auch der erste Summand sein;
das ist aber nur für r ≧ 2 möglich.
16. Suchen Sie alle Extremwerte der Funktion f(x) = x 2 −2·|x−2|−3x.
Lösung: f(x) =
x 2 −x−4 für x < 2
x 2 −5x+4 für x ≧ 2
f ′ (x) =
rel. Minimum bei (0,5| −4,25) und (2,5| −2,25).
2x−1 für x < 2
2x−5 für x > 2
f ′ − (2) = 3 und f′ + (2) = −1, d.h. rel. Maximum bei (2| −2).
17. Die im Unterricht angegebenen hinreichenden Kriterien für einen Extremwert sind
keine notwendigenKriterien. Es gibtz.B. Funktionenmit einemrelativen Minimum
in x0, für die es kein noch so kleines positives h gibt mit f monoton fallend in
]x0−h;x0[ und f monoton steigend in ]x0;x0+h[. Als Beispiel betrachten wir die
Funktion
f(x) =
x2 ·(2+sin 1)
für x = 0 x
0 für x = 0
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