SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(h)
3
1
x 2 +2x+1
x 4 +x 3
2. Mittelwerte von Funktionen
1.1 bestimmtes Integral
dx =
=
3
1
(x+1) 2
x3 dx =
(x+1)
− 1 1
−
x 2x2 Der Mittelwert einer Funktion f im Intervall
[a,b] ist definiert als
f = 1
b
b−a
a
f(x)dx
Berechne die Mittelwerte folgender Funktionen
im Intervall [a,b] und veranschauliche
das Ergebnis am Grafen der Funktion:
Lösung: (a) f = 1
4− 1
2
1
2
3
3
1
1 1
+
x2 x3
dx =
= −
1
1 1 1 10
− +1+ =
3 18 2 9
f
y
a b
(a) f(x) = 1
x2 a = 1
x4
, b = 4 (b) f(x) = 4− , a = −2, b = 2
2 4
(c) f(x) = sinx, a = 0, b = 2π (d) f(x) = sinx, a = 0, b = π
(e) f(x) = cosx, a = 0; für welches b ist f = 1
2 ?
4
dx 2
= −
x2 7
1
4 =
x 1
2
2
−
7
1
4 +2
= 1
2
(b) f(−x) = f(x) =⇒ f ist symmetrisch zur y-Achse:
1
f =
2−(−2)
(c) f =
1
2π −0
(d) f = 1
π −0
0
0
π
2π
2
−2
4− x2
dx
4
Symmetrie
=
1
4 ·2·
2
sinxdx = 1
2π [−cosx]2π
1
0 = [−1+1] = 0
2π
sinxdx = 1
π [−cosx]π
1 1
0 = [1+1] =
2π π
5
0
4− x2
dx =
4
1
4x−
2
x3
2 =
12 0
11
3
f
x