SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(g) t(x) =
− b2
3a +c
2.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
·x− b3
+d
27a2 10. Geben Sie jeweils den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion an, die die folgenden
Bedingungen erfüllt:
(a) f(−2) = 0, f(−1) = 0, f(3) = 0, f(0) = 2
(b) f(−3) = 0, f(1) = 0, f(0) = 2
(c) f(1) = 0, f(5) = 0, Maximum bei (3|2)
(d) Maximum bei (2|4), Minimum bei (1|1)
(e) Terrassenpunkt bei (0|0), Maximum bei (−6|27)
Lösung: (a) f(x) = − 1
3 (x+2)(x+1)(x−3)
(b) f(x) = − 2
3 (x+3)(x−1)
(c) f(x) = − 1
2 (x−3)2 +2
(d) f(x) = −6x 3 +27x 2 −36x+16
(e) f(x) = − 1
16 x4 − 1
2 x3
11. Im Eisenbahnbau werden im Flachland für die Bahnstrecke normalerweise Krümmungsradien
von 1000m oder mehr genommen. Darüberhinaus wird die Bahnstrecke
so gewählt, dass an der Übergangsstelle kein Knick entsteht, die Krümmung stetig
ist und sich proportional zum zurückgelegten Weg ändert.
Bestimmen sie den Übergangsbogen der Länge 200m einer geradlinigen Bahnlinie zu
einem Kreisbogen mit Radius 1000m. Verwenden sie dazu als Näherung Polynome.
Als Länge der Kurve darf näherungsweise die x-Koordinate verwendet werden.
Hinweis:
DieKrümmungk(x) einerKurveist derKehrwert deszugehörigenKrümmungsradius
̺(x):
k(x) =
f ′′ (x)
(1+(f ′ (x)) 2 ) 3
2
̺(x) = (1+(f′ (x)) 2 ) 3
2
f ′′ (x)
Literatur: A. Kirsch, Übergangsbögen bei Eisenbahngleisen als Thema für den Mathematikunterricht,
MNU 50/3, S. 144-150
Lösung: Für x < 0 kann die Bahnlinie mit f1(x) = 0 beschrieben werden.
Bedingung für die Bahnlinie:
f(0) = f ′ (0) = f ′′ (0) = 0 (I), k(x) ∝ x (II)
Ansatz für x ≥ 0: f2(x) = a+bx+cx 2 +dx 3 +ex 4 +... =⇒
f ′ 2 (x) = b+2cx+3dx2 +4ex 3 +..., f ′′
2 (x) = 2c+6dx+12ex2 +...
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