SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
(e) N1(1|0), N2(−1,67|0),
Extrema: H(−0,78|8,43), T(1|0),
Wendepunkt W(0,11|4,21)
(f) N1(−1,62|0), N2(−1|0), N3(0,61|0),
Extrema: H(−1,33|0,19), T(0|−1),
Wendepunkt W(−0,67|−0,41)
9. Berechne für folgende Funktionen die Gleichung der Tangente im Wendepunkt.
Für die Teilaufgaben (d)-(g):
Wie verändert sich die Tangente, wenn die vorkommenden Parameter variiert werden?
Zeichnen Sie mit einer geeigneten Software die zugehörigen Kurvenscharen.
(a) f(x) = 3x 3 −3x 2 +3x+1
(b) f(x) = −x 3 +3x 2 −3x+9
(c) f(x) = 3x 3 −x+7
(d) f(x) = ax 3 +x 2 +x+1,a = 0
(e) f(x) = x 3 +bx 2 +x+1
(f) f(x) = x 3 +x 2 +cx+1
(g) f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d
Lösung: (a) t(x) = 2x+1 1
9
(b) t(x) = 8
(c) t(x) = −x+7
(d) t(x) = 1− 1
·x−
3a
1
+1
27a2 1. Fall: a < 0: Für steigendes a, wird die Steigung der Tangente größer. Die Tangentensteigung
ist immer > 1. Der y-Abschnitt wird für steigendes a kleiner.
2. Fall: a > 0: Für steigendes a, wird die Steigung der Tangente größer. Die Tangentensteigung
ist immer < 1. Der y-Abschnitt wird für steigendes a größer.
(e) t(x) = − b2
3 +1
·x− b3
27 +1
1. Fall: b > 0: Für steigendes b, wird die Steigung der Tangente kleiner und der y-
Abschnitt ebenfalls kleiner.
2. Fall: b < 0: Für steigendes b, wird die Steigung der Tangente größer und der y-
Abschnitt kleiner.
(f) t(x) = − 1
3 +c
·x+ 26
27
Für steigendes c, wird die Steigung der Tangente größer und der y-Abschnitt bleibt
unverändert.
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