SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
(b) Am Wendepunkt von f hat die Neuverschuldung f ′ ein Extremum. Die Neuverschul-
dung ist minimal bei x1 = 0 bzw. t1 = 2002 und maximal x2 = 3
2 bzw. t2 = 2003,5.
Ist das Maximum überschritten, also nach t2 = 2003,5 sinkt die Neuverschuldung, der
Schuldenzuwachs also abnimmt. D. h. die Schulden wachsen langsamer, die Schulden
nehmen aber zu!
4. Berechnen Sie für folgende Funktionen die Ortskurve der Wendepunkte.
(a) f(x) = x 3 +x 2 +kx
(b) f(x) = x 3 +kx 2 +x
(c) f(x) = kx 3 +x 2 +x
Lösung: (a) Wendepunkte bei xW = − 1
3
(b) Wendepunkte bei xW = −k 3
⇒ k = −3x ⇒
f(xW) = x3 −3x·x+x = −2x3 +x
(c) Wendepunkte bei xW = − 1
3k
1 ⇒ k = −3k ⇒
f(xW) = − 1
3kx3 +x2 +x = 2
3x2 +x
5. Gegeben ist die Funktion g(x) = x 4 +6x 3 −24x 2 +2x+7
(a) Berechnen Sie die Gleichungen der zwei Wendetangenten von g(x).
(b) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Wendetangenten.
Lösung: (a) Wendepunkte W1(1|−8), W2(−4|−513)
t1(x) = −24x+16, t2(x) = 226x+391
(b) S(−1 1
2 |52)
6. Bestimmen Sie für folgende Funktionen die Lage der Extrema und Wendepunkte
(D = R).
(a) f1(x) = x
1+x 2
(b) f2(x) = x
1+x 4
(c) f(x) = x
1+x n, n ∈ N und n gerade
Lösung: (a) H 1 1
2 , T −1 − 1
√3
2 , W1(0|0), W2 1
√
4 3 , W3 − √
3 − 1
√
4 3
4 1
(b) H 3 3
4 4
1
3 ,T − 4
1
3 − 3
4 4
1
4 5
3 ,W1(0|0),W2 3 3
8 4
5
3 ,W3 − 4
5
3 − 3
8 4
5
3
n 1
(c) H n−1 n−1
n n
1
n−1 ,T − n
1
n−1 − n−1
n n
1
n n+1
n−1 ,W1(0|0),W2 n−1 n−1
2n n
n+1
n−1 ,
− n
n+1
− n−1
n+1
W3
n−1
2n n
n−1
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