SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Krümmung von f an der Stelle x definiert man
k(x) =
f ′′ (x)
[1+f ′ (x) 2 ] 3
2
Welche Beziehung besteht zwischen R(x) und k(x)?
(b) Die Bedeutung der Krümmung kann man sich
wie folgt veranschaulichen: Ein Dreirad, dessen
Achsabstand a so klein ist, dass sich die
Krümmung k von f zwischen Vorderrad und
Hinterrädern kaum ändert, fährt entlang des
Grafen von f. Wie hängt die Krümmung k(x)
mit dem Lenkwinkel λ zusammen, wenn λ < 0
Ausschlag nach rechts und λ > 0 Ausschlag
nach links bedeutet?
(c) Ein Auto mit dem Achsabstand a = 4 fährt langsam durch eine S-Kurve mit
der Gleichung
π
f(x) = 10sin
30 ·x
mit 0 ≦ x ≦ 60
(die Zahlenwerte für a, x und f(x) verstehen sich inMetern). Zeichne die Grafen
von f(x) und λ(x).
Lösung: (a) Mit x1 = x, x2 = x + ∆x, tanϕ = f ′ (x) und tan(ϕ + ∆ϕ) = f ′ (x + ∆x) folgt (∆ϕ
kann auch negativ sein, R aber muss positiv sein):
∆s
∆x2 +∆y2
R(x) = lim = lim
∆ϕ→0 |tan∆ϕ| ∆x→0tan(ϕ+∆ϕ−ϕ)
=
2
∆y
∆x
1+ ∆x (1+tanϕtan(ϕ+∆ϕ))
= lim
∆x→0
tan(ϕ+∆ϕ)−tanϕ =
2 ∆y
1+ ∆x (1+f
= lim
∆x→0
′ (x)f ′ (x+∆x))
f ′ (x+∆x)−f ′
(x) =
∆x
1+f ′ (x) 2 (1+f ′ (x) 2 )
=
f ′′
(x) = [1+f′ (x) 2 ] 3
2
|f ′′ (x)|
(b) Zunächst einmal gilt für den Betrag von λ
R(x) = 1
|k(x)|
sin|λ| = a
= a·|k(x)|
R(x)
42
λ
a
R
λ