SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2. Krümmung
2.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
−3
−2
P1(x1|f(x1)) und P2(x2|f(x2))
mit x2 = x1 + ∆x sind zwei benachbarte
Punkte auf dem Grafen
von f. Die Normalen auf Gf
in P1 und P2 schneiden sich in M.
Wenn P2 immer näher zu P1 wandert,
gilt
MP2 ≈ MP1 =: R
und wegen ” ∆ϕ sehr klein“:
∆ϕ ≈ tan∆ϕ ≈ ∆s
R
mit ∆s = P1P 2 = ∆x 2 +∆y 2 .
−1
y
2
1
−1
−2
y
1
M
ϕ1
∆ϕ
R
ϕ2
P1
2 3 x
x1
R
P2
x2
ϕ1
tan(α −β) = tanα−tanβ
1+tanαtanβ
(a) Beweise unter Verwendung der angegebenen trigonometrischen Formel:
R(x) = [1+f′ (x) 2 ] 3
2
|f ′′ (x)|
R(x) heißt Krümmungsradius von f an der Stelle x. R(x) ist der Radius eines
Kreises, der Gf in einer kleinen Umgebung von x am besten annähert. Als
41
ϕ2
f
x