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2.2 Graph und Funktion
2.2 Graph und Funktion
2.3 Ableitungsfunktion und Integralfunktion
2.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
1. Berechne die Ableitungen folgender Funktionsterme:
(a) g(x) = e −x
(b) h(x) = e x2
(c) k(x) = e −x2
(d) f(x) = 5xe −x2
(e) Untersuche f auf Nullstellen, Symmetrie, relative Extrema und Wendepunkte.
Zeichne den Grafen von f im x-Intervall [−3,3].
Lösung: (a) g ′ (x) = −e −x
Es darf, ohne nachzurechnen, f ′′′ (x) = −10 4x 4 −12x 2 +3 e −x2
werden.
(b) h ′ (x) = 2xe x2
(d) f ′ (x) = 5e −x2
−10x 2 e −x2
= 5 1−2x 2 e −x2
(b) Nullstelle: x0 = 0
(c) k(x) = −2xe −x2
verwendet
f(−x) = −5xe −(−x)2
= −5xe −x2
= −f(x) =⇒ Punktsymmetrie zum Ursprung
f ′ (x) = 0 =⇒ 1−2x 2 = 0 =⇒ x11 = − 1√
2, x12 =
2
1√
2
2
f ′′ (x) = −10xe −x2
−20xe −x2
+20x 3 e −x2
f ′′ (x12) = −10 √ 2e −1
2 < 0 =⇒ rel. Max. bei
Symmetrie =⇒ rel. Min. bei
− 1
2
√ 2 − 5
2
f ′′ (x) = 0 =⇒ 2x 2 −3 = 0 =⇒ x21 = − 1
2
= 10x 2x 2 −3 e −x2
√ √
1 5 −
2 2 2 2e 1
2 ≈ (0,71|2,14)
√
− 2e 1
2 ≈ (−0,71| −2,14)
f ′′′ (x22) = 60e −3
2 = 0, f ′′′ (0) = −30 = 0 und Symmetrie =⇒
Wendepunkte bei
± 1
2
√ 6 ± 5
2
√ 6e − 3
2
40
√
6, x22 = 1√
6, x23 = 0
2
≈ (±1,22| ±1,37) und (0|0).