SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2 Funktionen und deren Graphen
2.1 Höhere Ableitungen
1. Berechnen Sie die m-te Ableitung von f(x) = x n mit n ∈ N.
Lösung: f (m) (x) =
n!
(n−m)! ·xn−m
2. Berechnen Sie die ersten fünf Ableitungen von f(x) = sinx.
Wie lautet die n-te Ableitung von f ?
Lösung: f (n)
(x) = sin x+ nπ
2
3. Berechnen Sie die ersten vier Ableitungen von f(x) = 1
x .
Wie lautet die n-te Ableitung von f ?
Lösung: f (n) (x) = (−1) n ·n!·x −(n+1)
4. Berechnen Sie die ersten fünf Ableitungen von f(x) = x 4 −x 2 + √ x.
Wie lautet die n-te Ableitung von f für n ≧ 5?
Lösung: f ′ (x) = 4x 3 −2x+ 1
2 x−1 2
f ′′ (x) = 12x 2 −2+ 1
2 ·
− 1
x
2
−3
2
f ′′′ (x) = 24x+ 1
2 ·
− 1
· −
2
3
x
2
−5
2
f (4) (x) = 24+ 1
2 ·
− 1
· −
2
3
· −
2
5
x
2
−7
2
f (n) (x) = (−1) n+1 · 1·3·5·...·(2n−3)
2 n
·x −2n−1
2 für n ≧ 5
5. Nennen Sie mindestens zwei Funktionen, deren n-te Ableitung 1 ist.
Lösung: f(x) = xn
n!
+Polynom vom Grad n−1
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