SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

Lösung: f(x) = 0 =⇒ xf0 = 4
g(x) = 0 =⇒ xg1 = 0, xg2 = 4
x1 = 1 : f(x1) = 3, g(x1) = 3
x2 = 4 : f(x2) = 0, g(x2) = 0
A =
4
1
4
=
=
1
(g(x)−f(x)) dx =
1.5 Berechnung von Flächeninhalten
4x−x 2 − 4
x +1
dx =
2x 2 − x3
3 −4lnx+x
= 32− 64
3
4
1
−1
4
3
2
1
−1
1
−4ln4+4−2+ −1 = 12−4ln4 ≈ 6,455
3
14. (a) Zeichne die Grafen der Funktionen f, g und h mit
Lösung: (a)
f(x) = 4 4
, g(x) =
x x1,1 und h(x) = 4
x2 im x-Intervall [1;6] in ein Koordinatensystem (Einheit: 2cm).
(b) Mit gx bezeichnen wirdasLotaufdiex-Achsebeix. A1(x)istdieFläche,dievon
Gf,Gg undgx eingeschlossen wird,A2(x)wirdvonGg,Gh undgx eingeschlossen.
Stelle die Gleichungen von A1 und A2 auf.
(c) Welche Ungleichung vermutet man zwischen A1(x) und A2(x), wenn man die
Grafen der Funktionen betrachtet? Bestätige die Vermutung durch das Aufstellen
einer Wertetabelle für A1(x) und A2(x) mit x ∈ {5,10,10 2 ,10 3 ,10 4 ,10 5 }.
(d) Berechne die Grenzwerte von A1(x) und A2(x) mit x → ∞. Wie vertragen
sich diese Ergebnisse mit der Vermutung aus Teilaufgabe (c)? Erweitere die
WertetabellefürA1(x)undA2(x)undbestimmemöglichstgenauden ” kritischen
Punkt“.
37
y
f
1
2
A
3
g
4
x