SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

1.5 Berechnung von Flächeninhalten
12. Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f(x) = x2
8 , g(x) = √ x und h(x) = 1
x
mit den Definitionsmengen R + 0 (f und g) bzw. R + .
(a) Berechne die Koordinaten aller Schnittpunkte der drei Funktionen und zeichne
die Grafen der Funktionen in ein Koordinatensystem (0 ≦ x ≦ 5, Einheit 2cm).
(b) Die Grafen aller drei Funktionen schließen für x ≧ 1 ein endliches Flächenstück
ein. Berechne seinen Inhalt A.
Lösung: (a) f(x) = g(x) =⇒ x2
8 = √ x
(b)
x 4 = 64x =⇒ x(x 3 −64) = 0
S1(0 0), S2(4 2)
f(x) = h(x) =⇒ x2 1
=
8 x
x 3
= 8 =⇒ S3 2 1
2
g(x) = h(x) =⇒ √ x = 1
x =⇒ x3 = 1 =⇒ S4(1 1)
A =
=
2
1
√x− 1
x
2
3 x3
2 2 −lnx
1
y3
2
1
0 0
dx+
2
4
2
+
3 x32
− x3
24
1
√x− x2 dx =
8
= 2
3 232
−ln2− 2 2
+ln1+
3 3 432
− 43 2
−
24 3 232
+ 23
24 =
= −ln2− 2 16 8 1 7
+ − + = −ln2 ≈ 1,64
3 3 3 3 3
13. Die Grafen der beiden Funktionen f und g mit
4
f(x) = 4
−1 und g(x) = 4x−x2
x
2
=
2
3 4
schließen für x > 0 ein Flächenstück mit endlichem Inhalt A ein. Berechne die Nullstellen
der beiden Funktionen und zeichne ihre Grafen im x-Intervall ]0;5]. Weise
nach, dass die der Zeichnung entnommenen Schnittpunkte tatsächlich die gemeinsamen
Punkte der beiden Funktionsgrafen sind und berechne dann A.
36
x