SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(c) Beweise, dass F mit
1.5 Berechnung von Flächeninhalten
F(x) = −20(1+lnx)
x
eine Stammfuktion von f ist und stelle F als Integralfunktion von f dar.
(d) Berechne den Inhalt A der endlichen Fläche, die von Gf, der x-Achse, der Nullstelle
und der Geraden x = √ e begrenzt wird.
−∞
Lösung: (a) f(x) = 0 =⇒ lnx = 0 =⇒ x0 = 1, lim =
x→0 +f(x) 0 +
= −∞
∞
1
x 1
de l’Hospital: lim f(x) = = 20· lim = 20· lim = 0+
x→∞ ∞ x→∞ 2x x→∞ 2x2 (b) f ′ 1
x (x) = 20·
·x2 −lnx·2x
x4 = 20· x−lnx·2x
x4 = 20· 1−2lnx
x3 f ′ (x) = 0 =⇒ lnx = 1
2 =⇒ x1 = e 1
2 = √ e ≈ 1,65
0 < x < x1 =⇒ f ′ (x) > 0 =⇒ fstreng steigend
x > x1 =⇒ f ′ (x) < 0 =⇒ fstreng fallend
=⇒ rel. Maximum bei (x1|y1) mit y1 = f(x1) = 10
e
x f(x)
0,9 ≈ −2,60
1 = 0
2 5ln2 ≈ 3,47
3 20ln3
9 ≈ 2,44
4 5ln4
4
≈ 1,73
≈ 3,68
4ln5 5 5 ≈ 1,29
0
5ln6
1 2 3 4 5 6
6 9 ≈ 0,995 x
(c) F ′ (x) = −20·
y4
3
2
1
−1
−2
1
x ·x−(1+lnx)·1
x2 = −20· 1−1−lnx
x2 = 20lnx
= f(x) q.e.d.
x2 NS von F muss untere Grenze des Integrals sein: F(x) = 0 =⇒ x = e −1
F(x) =
34
x
e −1
20lnt
t 2 dt