SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

und somit
1.5 Berechnung von Flächeninhalten
Daraus folgt für die Intervallbreite:
ln(1+n) < Hn < 1+lnn
ln(1+n) = ln n 1+ 1
= lnn+ln 1+
n
1
n
b = 1+lnn−ln(1+n) = 1−ln
Wegen 1 < 1+ 1
n < 2 gilt 0 < ln1+ 1
n < ln2 und daher
1−ln2 < b < 1
1+ 1
n
Die lineare Näherung f(1+x) ≈ f(1)+f ′ (1)·x für |x| ≪ 1 liefert wegen n ≫ 1, d.h.
1
n ≪ 1:
ln(1+x) ≈ 0+1·x = x oder ln 1+ 1
≈
n
1
n
und damit
(c) Auflösen nach n:
y
6
5
4
3
2
1
b ≈ 1− 1
n
für n ≫ 1
0
0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
e Hn−1 < n < e Hn −1
Hn ≈ 100 =⇒ e 99 < n < e 100 −1 =⇒ 9,89·10 42 < n < 2,87·10 43
10. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung
f(x) = 20lnx
x 2
mit Df = R + .
(a) Berechne die Nullstellen von f und untersuche das Verhalten von f an den
Rändern von Df.
(b) Untersuche f auf Monotonie und Extremwerte und Zeichne den Grafen von f
im x-Intervall [0,9;6].
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x