SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

1.5 Berechnung von Flächeninhalten
mit einem geeignet gewählten Integral, dass die harmonische Reihe konvergiert,
d.h. dass
lim
n→∞ Hn = ∞
gilt.
(c) Beweise mit Hilfe des schon erstellten Grafen:
ln(1+n) < Hn < 1+lnn
Zeige, dass die Breite b des Intervalls, in dem Hn liegt, kleiner als eins ist.
Wie groß ist b für n ≫ 1? Zeichne die Punkte (n|Hn) und die Grafen von
r(x) = ln(1+x) und s(x) = 1+lnx für 1 ≦ x ≦ 20 in ein Koordinatensystem.
(d) In welchem Intervall liegt n, wenn Hn gegeben ist? Berechne dieses Intervall
konkret für Hn ≈ 100.
Lösung: (a) n Hn
1 1,0
2 1,5
3 1,833333333
4 2,083333333
5 2,283333333
6 2,45
7 2,592857143
8 2,717857143
9 2,828968254
10 2,928968254
11 3,019877345
12 3,103210678
13 3,180133755
14 3,251562327
15 3,318228993
16 3,380728993
17 3,439552523
18 3,495108078
19 3,547739657
20 3,597739657
(b)
1
x−1
n+1
1
(b)
2
1
y
1
x
1
1
x−1
2
Hn >
n+1
1
dx
x
n n+1
= ln(1+n)
Wegen lim ln(1+n) = ∞ gilt auch lim
n→∞ n→∞ Hn = ∞.
dx
x < Hn < 1+
n+1
2
dx
x−1
1
ist die um 1 nach rechts verschobene Funktion . Daraus folgt
x
n+1
2
dx
x−1 =
32
n
1
dx
x
= lnn
x