SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

1.5 Berechnung von Flächeninhalten
(c) |Fk(x)| ist gleich der Fläche zwischen Gfk
(d)
F1(x) =
x
1
x
F2(x) =
1
x
F3(x) =
1
und der x-Achse im Intervall [1,x].
t −1+ε dt = 1 1
−
ε εxε dt
t
= lnx−ln1 = lnx
t −1−ε dt = xε
ε
− 1
ε
lim
x→0 +F1(x) = −∞, lim
x→0 +F2(x) = −∞, lim
x→0 +F3(x) = − 1
ε
lim
x→∞ F1(x) = 1
,
ε
lim
x→∞ F2(x) = +∞, lim
x→∞ F3(x) = +∞
F1(x) = 100− 100
100 √ x
F2(x) = lnx
F3(x) = 100 100√ x−100
Die tatsächliche Strecke auf
der x-Achse ist X = 0,1lgx:
F2(x) = lnx = lgx
lge
9. Die harmonische Reihe
Die Summe
= 10
lge ·X
∞
k=1
1
k
y
500
400
300
200
100
1 1 1
= 1+ + + + ...
2 3 6
heißt harmonische Reihe, die Teilsummen bezeichnen wir mit
Hn =
n
k=1
(a) Berechne Hn für alle n mit 1 ≦ n ≦ 20.
1
k
1 1 1
= 1+ + + ... +
2 3 n
F3
F2
F1
10 10 10 20 10 30 10 40 10 50 10 60 10 70 10 80
x
(b) Veranschauliche Hn durch die Fläche unter einer Treppenfunktion und zeichne
auch die Grafen von f(x) = 1
x
und g(x) = 1
x−1
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ein. Zeige durch den Vergleich