SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

1.5 Berechnung von Flächeninhalten
8. Wir betrachten die drei Funktionen f1, f2 und f3 mit den Gleichungen
mit 0 < ε < 1.
f1(x) = 1
x 1+ε, f2(x) = 1
x und f3(x) = 1
x 1−ε
(a) Zeichne die Grafen von f1, f2 und f3 im Intervall [0,1;10] für ε = 0,01. Was fällt
auf?
(b) Welche Ungleichungen verbinden f1(x), f2(x) und f3(x)? Untersuche das Verhalten
der drei Funktionen am Rand ihres Definitionsbereichs.
(c) Berechne die Stammfunktionen F1, F2 und F3 der Funktionen f1, f2 und f3 mit
F1(1) = F2(1) = F3(1) = 0.
Welche geometrische Bedeutung haben F1(x), F2(x) und F3(x)?
Untersuche das Verhalten von F1, F2 und F3 für x → 0 + und x → +∞.
(d) Zeichne die Grafen von F1, F2 und F3 im Intervall [1;10 80 ] mit einem logarithmischen
Maßstab auf der x-Achse (statt x wird 0,1lgx angetragen, d.h. bei 3cm
z.B. ist x = 10 30 , bei 6cm x = 10 60 ).
Warum ist der Graf von F2 in dieser Darstellung eine Gerade?
Lösung: (a) x 0,2 1 2 5
f1 5,08 1,00 0,497 0,197
f2 5,00 1,00 0,500 0,200
f3 4,92 1,00 0,503 0,203
Die maximale gemeinsame Definitionsmenge
aller drei Funktionen ist R + .
Die Grafen der derei Funktionen sind
kaum zu unterscheiden.
(b) Für 0 < x < 1 gilt 1
> 1 und daher wegen 1−ε > 0
x
1−ε 1
< 1 =⇒ f1(x) < f2(x) < f3(x) < 1
x
Für k ∈ {1,2,3} gilt
lim
x→0 +fk(x) = +∞, lim
x→+∞ fk(x) = 0 +
30
y
4
3
2
1
0 0
1
2
3
4
x