SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

1.5 Berechnung von Flächeninhalten
7. Zeichne die Grafen der Funktionen f und g mit
f(x) = sinx und g(x) = 1−sinx
im Intervall [0, 7π]
in ein Koordinatensystem (Einheit 2cm). Berechne die Koordina-
3
ten der Schnittpunkte der beiden Funktionen im angegebenen Intervall. Die beiden
Grafen schließen, jeweils zwischen einem Schnittpunkt und dem darauf folgenden
Schnittpunkt, zwei verschieden große Flächenstücke ein. Berechne ihre Inhalte A1
und A2.
Lösung: Schnittpunkte der beiden Grafen:
f(x) = g(x) =⇒ sinx = 1
2 =⇒ x1 = π
6 , x2 = 5π
6 , x3 = 13π
6
A1 =
A2 =
y
2
1
−1
x2
x1
π
6
A1
5π
6
π
A2
|f(x)−g(x)|dx = (2sinx−1)dx =
= −2cos 5π
6
= 2 √ 3− 2π
3
x3
x2
− 5π
6
≈ 1,37
|f(x)−g(x)|dx =
= 2cos 13π
6
= 2 √ 3+ 4π
3
+ 13π
6
≈ 7,65
π
6
5π
6
f
g
2π
13π
6
x
5π
6
−2cosx−x
π π
+2cos +
6 6 = √ 3− 5π
6 +√3+ π
6 =
13π
6
5π
6
−2cos 5π
6
29
(1−2sinx)dx =
π
6
13π
6
2cosx+x
5π
6
=
=
− 5π
6 = √ 3+ 13π
6 +√ 3− 5π
6 =