SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

1.5 Berechnung von Flächeninhalten
(c) S(2|2), A = 2 2
0 (6−x2 )dx−4 = 14 2
3
5. Gegeben ist die Funktion f(x) = 3x−2
3(x−1) 2.
(a) Zeigen Siedass der Graphder Funktionfür x > 2 oberhalbder x-Achse verläuft.
3
(b) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion nur bei x = 1 ein Minimum hat.
3
(c) Berechnen Sie das Integral 6
2 f(x)dx
Lösung: (a) Nenner und Zähler positiv für x > 2
3
(b) f ′ (x) = 3−9x
9(x−1) 3 = 0 für x = 1
3 und dort auch Vorzeichenwechsel von + nach −, also
Maximum
(c) 6
2 f(x)dx = 5 3t+1
1 3t2 dt = [lnz − 1
3t ]5 4
1 = ln5+ 15
6. Der Querschnitt einer Staumauer wird dargestellt durch die Koordinatenachsen, der
Gerade y = 10 und dem Graphen der Funktion s(x) = a+blnx. Der Graph von s
geht durch die Punkte A(e 2 |0) und B(e|10)
(a) Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b.
(b) Unter welchem Winkel schneidet der Graph der Funktion die x-Achse.
(c) Skizzieren Sie den Querschnitt der Staumauer und schätzen Sie den Querschnitt
der Staumauer ab.
(d) Berechnen Sie den Querschnitt der Staumauer exakt.
Lösung: (a) a = 20, b = −10
(b) −53 ◦
(c)
(d) A = 47
28