SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

−4
−3
1.5 Berechnung von Flächeninhalten
−2
−1
y
5
4
3
2
1
−1
−2
1
f
2
g
3
4
5 6
x
4. Gegeben ist die Funktion f : x → √ 6−x in ihrem maximalen Definitionsbereich
Df.
(a) Geben Sie Df an und begründen Sie, dass f umkehrbar ist.
(b) Geben Sie den Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion an, und bestimmen
Sie den Term der Umkehrfunktion. Zeichnen Sie die Graphen von f
und f −1 in ein gemeinsames Koordinatensystem.
(c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem sich die beiden Graphen
schneiden, sowie denInhalt des,,herzförmigen” Flächenstücks, dasvondenGraphen
vonf undf −1 sowie denKoordinatenachsen imI. Quadranteneingeschlossen
wird.
Quelle: Handreichung für den Mathematikunterricht am Gymnasium, Das Abitur im
Fach Mathematik am achtjährigen Gymnasium, Staatsinstitut für Schulqualität und
Bildungsforschung Abteilung Gymnasium, August 2008, www.isb.bayern.de
Lösung: (a) f ′ (x) = − 1
2 √ < 0, also streng monoton fallend und damit umkehrbar
6−x
(b) D f −1 = Wf = [0;∞[, W f −1 = Df =]−∞;6], f −1 (x) = 6−x 2
27