SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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1.4 Stammfunktion und unbestimmtes Integral (b) d 2 x x 2 x 2 x (x −2x+2)e +C = (2x−2)e +(x −2x+2)e = x e dx (c) d a3x3 −3a2x2 +6ax−6 dx a4 ·e ax +C = = 3a3 x 2 −6a 2 x+6a a 4 = 3a2 x 2 −6ax+6 a 3 ·e ax + a3 x 3 −3a 2 x 2 +6ax−6 a 4 ·ae ax = ·e ax + a3 x 3 −3a 2 x 2 +6ax−6 a 3 ·e ax = x 3 e ax 7. Von der Funktion f kennt man die Ableitung f ′ (x) = 1 4e−x2 und den Funktionswert f(3) = 1. Ermittle die Gleichung, berechne die Nullstelle und zeichne den Grafen von f. Lösung: f(x) = f ′ (x)dx = − 1 2 e−x2 +C f(3) = − 1 2 e−3 2 +C = 1 =⇒ C = 1+ 1 2 e−3 2 ≈ 1,11 −5 f(x) = − 1 2 e−x2 +1+ 1 f(x) = 0 =⇒ x0 = −2ln −4 −3 −2 −1 y 1 −1 −2 −3 −4 2 e−32 2+e −3 2 ≈ −1,60 1 2 3 4 5 6 x 8. Der Graf von F mit F ′ (x) = f(x) enthält den Punkt P. Wie lautet F(x) für (a) f(x) = cosx+1, P(π|π) (b) f(x) = x −2 3, P(8|0) Lösung: (a) F(x) = f(x)dx = sinx+x+C, F(π) = π +C = π =⇒ C = 0 (b) F(x) = =⇒ F(x) = sinx+x f(x)dx = 3x 1 3 +C, F(8) = 6+C = 0 =⇒ C = −6 =⇒ F(x) = 3x 1 3 −6 22
1.5 Berechnung von Flächeninhalten 9. Löse folgende Anfangswertprobleme: (a) F ′ (x) = 3 t x(4−x), F(4) = 4 (b) ˙x = 8 4 3 3 Lösung: (a) F(x) = x− 2 8 x2 (b) x(t) = 1 + t2, x(2) = 0 dx = 3 4 x2 − 1 8 x3 +C, F(4) = 4+C = 4 =⇒ C = 0 =⇒ F(x) = 3 4 x2 − 1 8 x3 t 1 + 4 t2 dt = t2 1 − +C, x(2) = 0+C = 0 =⇒ C = 0 8 t =⇒ x(t) = t2 8 − 1 t 10. (a) (ax+b) n √ 3 n dx (b) 7−xdx (c) (a−bx) mdx Lösung: (a) dx (d) √ 5x−3 (e) cos(3x−4)dx (f) Asin(ωt+ϕ)dt (g) e 2x−3 dx dt (h) 8−2t 2 (i) e x 2−1 dx x n+1 a(n+1) 3 +C (b) −3 (7−x) 4 +C 4 n n 2√ (c) − (a−bx) n+m +C (d) 5x−3+C b(n+m) 5 (e) 1 sin(3x−4)+C (f) −A 3 ω cos(ωt+ϕ)+C (g) 1 2 e2x−3 +C (h) − 1 2 ln|8−2t|+C (i) 2e x 2−1 2 = 2 1− 0 1 e 1.5 Berechnung von Flächeninhalten 1. Berechne die Fläche A, die von Gf, der x-Achse und den Geraden x = a und x = b eingeschlossen wird. Zeichne den Grafen und veranschauliche A. (a) f(x) = 2x+1, a = −2, b = 1 (b) f(x) = x 2 −4, a = −3, b = 0 (c) f(x) = x 3 +1 , a = −2, b = 1 (d) f(x) = x −2 +x −3 , a = −2, b = −0,5 23 0
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- Seite 5 und 6: (h) 3 1 x 2 +2x+1 x 4 +x 3 2. Mitte
- Seite 7 und 8: Lösung: (a) (b) (c) (d) 1 0 ∞ 1
- Seite 9 und 10: (a) (c) 5 1 π 4 Lösung: (a) ∆x
- Seite 11 und 12: (f) (g) (h) 10. (a) Lösung: (a) 3
- Seite 13 und 14: (b) g(x) = 0 =⇒ x0k = π 2 1.2 In
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- Seite 17 und 18: (b) x g(x) 0 0 ±1 ∓0,316 ±2 ∓
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- Seite 21: 3. (a) 1.4 Stammfunktion und unbest
- Seite 25 und 26: 1.5 Berechnung von Flächeninhalten
- Seite 27 und 28: −4 −3 1.5 Berechnung von Fläch
- Seite 29 und 30: 1.5 Berechnung von Flächeninhalten
- Seite 31 und 32: 1.5 Berechnung von Flächeninhalten
- Seite 33 und 34: und somit 1.5 Berechnung von Fläch
- Seite 35 und 36: (d) A = √ e 1 1.5 Berechnung von
- Seite 37 und 38: Lösung: f(x) = 0 =⇒ xf0 = 4 g(x)
- Seite 39 und 40: 2 Funktionen und deren Graphen 2.1
- Seite 41 und 42: 2. Krümmung 2.4 Krümmungsverhalte
- Seite 43 und 44: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 45 und 46: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 47 und 48: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 49 und 50: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 51 und 52: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 53 und 54: 2.5 Wirtschaft Lösung: (a) Beizune
- Seite 55 und 56: (g) Preiserhöhung Preissenkung ε
- Seite 57 und 58: 2.5 Wirtschaft 7. Nach dem Einkomme
- Seite 59 und 60: 2.6 Kurvendiskussion 2.6 Kurvendisk
- Seite 61 und 62: Lösung: (a) f(x) = (b) f ′ (x)dx
- Seite 63 und 64: lim = lim x→0 +g(x) x→0 + 2.6
- Seite 65 und 66: 6. Wir betrachten die Funktion f mi
- Seite 67 und 68: 2.6 Kurvendiskussion f ′′ (x22)
- Seite 69 und 70: 2.6 Kurvendiskussion f ′ (x) = 0
- Seite 71 und 72: 2.6 Kurvendiskussion auf Nullstelle
1.5 Berechnung von Flächeninhalten<br />
9. Löse folgende Anfangswertprobleme:<br />
(a) F ′ (x) = 3<br />
t<br />
x(4−x), F(4) = 4 (b) ˙x =<br />
8 4<br />
<br />
3 3<br />
Lösung: (a) F(x) = x−<br />
2 8 x2<br />
<br />
(b) x(t) =<br />
1<br />
+<br />
t2, x(2) = 0<br />
dx = 3<br />
4 x2 − 1<br />
8 x3 +C, F(4) = 4+C = 4 =⇒ C = 0<br />
=⇒ F(x) = 3<br />
4 x2 − 1<br />
8 x3<br />
<br />
t 1<br />
+<br />
4 t2 <br />
dt = t2 1<br />
− +C, x(2) = 0+C = 0 =⇒ C = 0<br />
8 t<br />
=⇒ x(t) = t2<br />
8<br />
− 1<br />
t<br />
<br />
10. (a) (ax+b) n <br />
√ <br />
3 n<br />
dx (b) 7−xdx (c) (a−bx) mdx Lösung: (a)<br />
<br />
dx<br />
(d) √<br />
5x−3<br />
<br />
(e) cos(3x−4)dx (f) Asin(ωt+ϕ)dt<br />
<br />
(g) e 2x−3 dx<br />
<br />
dt<br />
(h)<br />
8−2t<br />
2<br />
(i) e x<br />
2−1 dx<br />
x n+1<br />
a(n+1)<br />
<br />
3<br />
+C (b) −3 (7−x) 4 +C<br />
4<br />
n <br />
n<br />
2√<br />
(c) − (a−bx) n+m +C (d) 5x−3+C<br />
b(n+m)<br />
5<br />
(e) 1<br />
sin(3x−4)+C (f) −A<br />
3 ω cos(ωt+ϕ)+C<br />
(g) 1<br />
2 e2x−3 +C (h) − 1<br />
2 ln|8−2t|+C<br />
<br />
(i) 2e x<br />
2−1 <br />
2<br />
= 2 1−<br />
0 1<br />
<br />
e<br />
1.5 Berechnung von Flächeninhalten<br />
1. Berechne die Fläche A, die von Gf, der x-Achse und den Geraden x = a und x = b<br />
eingeschlossen wird. Zeichne den Grafen und veranschauliche A.<br />
(a) f(x) = 2x+1, a = −2, b = 1 (b) f(x) = x 2 −4, a = −3, b = 0<br />
(c) f(x) = x 3 +1 , a = −2, b = 1 (d) f(x) = x −2 +x −3 , a = −2, b = −0,5<br />
23<br />
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