SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

1.4 Stammfunktion und unbestimmtes Integral
(b) d 2 x x 2 x 2 x
(x −2x+2)e +C = (2x−2)e +(x −2x+2)e = x e
dx
(c)
d a3x3 −3a2x2 +6ax−6
dx a4 ·e ax
+C =
= 3a3 x 2 −6a 2 x+6a
a 4
= 3a2 x 2 −6ax+6
a 3
·e ax + a3 x 3 −3a 2 x 2 +6ax−6
a 4
·ae ax =
·e ax + a3 x 3 −3a 2 x 2 +6ax−6
a 3
·e ax = x 3 e ax
7. Von der Funktion f kennt man die Ableitung f ′ (x) = 1
4e−x2 und den Funktionswert
f(3) = 1. Ermittle die Gleichung, berechne die Nullstelle und zeichne den Grafen von
f.
Lösung: f(x) = f ′ (x)dx = − 1
2 e−x2
+C
f(3) = − 1
2 e−3 2 +C = 1 =⇒ C = 1+ 1
2 e−3 2 ≈ 1,11
−5
f(x) = − 1
2 e−x2
+1+ 1
f(x) = 0 =⇒ x0 = −2ln
−4
−3
−2
−1
y
1
−1
−2
−3
−4
2 e−32
2+e −3
2
≈ −1,60
1 2 3 4 5 6
x
8. Der Graf von F mit F ′ (x) = f(x) enthält den Punkt P. Wie lautet F(x) für
(a) f(x) = cosx+1, P(π|π) (b) f(x) = x −2
3, P(8|0)
Lösung: (a) F(x) = f(x)dx = sinx+x+C, F(π) = π +C = π =⇒ C = 0
(b) F(x) =
=⇒ F(x) = sinx+x
f(x)dx = 3x 1
3 +C, F(8) = 6+C = 0 =⇒ C = −6
=⇒ F(x) = 3x 1
3 −6
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