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5.8 Aus der Physik
ist und sich proportional zum zurückgelegten Weg ändert.
Bestimmen sie den Übergangsbogen der Länge 200m einer geradlinigen Bahnlinie zu
einem Kreisbogen mit Radius 1000m. Verwenden sie dazu als Näherung Polynome.
Als Länge der Kurve darf näherungsweise die x-Koordinate verwendet werden.
Hinweis:
DieKrümmungk(x) einerKurveist derKehrwert deszugehörigenKrümmungsradius
̺(x):
k(x) =
f ′′ (x)
(1+(f ′ (x)) 2 ) 3
2
̺(x) = (1+(f′ (x)) 2 ) 3
2
f ′′ (x)
Literatur: A. Kirsch, Übergangsbögen bei Eisenbahngleisen als Thema für den Mathematikunterricht,
MNU 50/3, S. 144-150
Lösung: Für x < 0 kann die Bahnlinie mit f1(x) = 0 beschrieben werden.
Bedingung für die Bahnlinie:
f(0) = f ′ (0) = f ′′ (0) = 0 (I), k(x) ∝ x (II)
Ansatz für x ≥ 0: f2(x) = a+bx+cx 2 +dx 3 +ex 4 +... =⇒
f ′ 2 (x) = b+2cx+3dx2 +4ex3 +..., f ′′
2 (x) = 2c+6dx+12ex2 +...
Aus (I) folgt a = b = c = 0. (II) kann mit diesem Polynomansatz nicht exakt erfüllt werden,
6dx+12ex 2 +...
da man mit obigem Ansatz k(x) =
(1+(3dx 2 +4ex 3 +...) 2 ) 3
2
erhält.
Für kleine x ist jedoch f ′ (x) sehr klein und kann vernachlässigt werden. Man erhält k(x) ≈
f ′′ (x). Für diese Näherung liefert f2(x) = dx 3 eine Lösung.
Bestimmung von d (Einheit: km) aus 1
k(0,2) ≈ 6d·0,2 = 1
1
=⇒ d = 5
6
r = k(x) ≈ f′′ (x) = 6dx:
Betrachtung der Abweichung von der exakt berechneten Krümmung bei x = 0,2:
k(0,2) =
6· 5
6 ·0,2
(1+(3· 5
6 ·0,22 ) 2 ) 3
2
= 1
1,015
Bei x = 0,2 wird der Krümmungsradius von 1000m nicht exakt erreicht. Dies macht sich
in einem kleinen Ruck im Zug an der Übergangsstelle bemerkbar. In der Praxis werden
solche Abweichungen toleriert, da der entstehende Ruck geringer als das übliche Rütteln
des Zuges ist.
11. Für die Geschwindigkeit eines Motorrades, das zur Zeit t = 0 startet, gilt die Beziehung
(t in Sekunden, v in m
s )
v(t) = 60t2 +20t 3
(1+t) 3
(a) Berechnen Sie v∞ = lim v(t), ohne darauf einzugehen, von welcher Seite sich
t→+∞
v an den Grenzwert annähert.
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