SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

5.8 Aus der Physik
(a) Berechnen Sie für folgende Messwerte die Summe der Fehlerquadrate S(m) und
bestimmen Sie die Steigung der Ausgleichsgerade.
i. (50|30), (100|55), (150|95)
ii. (20|40), (40|75), (60|115)
iii. (10|30), (30|86), (50|140), (70|205)
iv. (5|1,5), (10|3,2), (15|4,3), (20|5,9)
(b) Zeigen Sie allgemein, dass die Summe der Fehlerquadrate in der Form S(m) =
pm 2 −2qm+r geschrieben werden kann.
(c) Geben Sie an, wie p,q und r aus den Messwerten berechnet werden.
(d) Geben Sie allgemein die Steigung m der Ausgleichsgerade an.
Lösung: (a) i. S(m) = 35000 m 2 −2m·21250+12950 ⇒ m = 0,607
(b)
ii. S(m) = 5600 m 2 −2m·10700+20450 ⇒ m = 1,91
iii. S(m) = 8400 m 2 −2m·24230+69921 ⇒ m = 2,88
iv. S(m) = 750 m 2 −2m·222+65,79 ⇒ m = 0,296
S(m) = (ma1 −b1) 2 +(ma2 −b2) 2 +(ma3 −b3) 2 +...+(man −bn) 2
= (a 2 1 +a2 2 +a2 3 +...+a2 n )·m2
−2·(a1b1 +a2b2 +a3b3 +...+anbn)·m
+(b 2 1 +b 2 2 +b 2 3 +...+b 2 n)
(c) p = a 2 1 +a2 2 +a2 3 +...+a2 n, q = a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn undr = b 2 1 +b2 2 +b2 3 +...+b2 n.
(d) m = q
p
9. Stauentwicklung
Ein einfaches Modell zur Untersuchung der Stauentwicklung erhält man, indem man
annimmt, dass alle Autos mit gleicher konstanter Geschwindigkeit v und gleichem
Sicherheitsabstand s(v) fahren. Zusätzlich sollen alle Autos die gleiche Länge l = 5m
haben.
(a) Geben Sie einen Term n(v) zur Berechnung der Anzahl der Autos an, die eine
Beobachtungsstelle in einer Stunde passieren.
(b) Der Sicherheitsabstand s(v) sollte mindestens so groß sein, wie der Anhalteweg
sA(v) eines Autos. Dieser lässt sich nach der Formel
sA(v) = v ·1 s+ 1
2b v2
berechnen. Dabei ist v die Anfangsgeschwindigkeit in km und b die Beschleuni-
h
gung in m
s2. 203