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5.8 Aus der Physik
(b) s(t) = s0cos(ωt) mit ω 2 = D
m
(c) s(t) = s0sin(ωt+ϕ) mit ω 2 = D
m
(d) Wie entscheidet man, welche Lösung eine beobachtete Schwingung richtig beschreibt?
Lösung: (a) ¨s(t) = −ω 2 s0sin(ωt)
Lösung:
(b) ¨s(t) = −ω 2 s0cos(ωt)
(c) ¨s(t) = −ω 2 s0sin(ωt+ϕ)
(d) Die Lösung (a) beschreibt Schwingungen, die in der Nulllage starten und die Lösung
(b) Schwingungen, die bei der maximalen Auslenkung starten. Dagegen ist (c) eine
allgemeine Lösung der Gleichung für beliebige Anfangsbedingungen, die dann den
Phasenwinkel ϕ festlegen. Dazu entnimmt man aus dem Experiment s(0s) und ˙s(0s)
und setzt die Werte in s(t) und ˙s(t) ein. Daraus erhält man den Phasenwinkel ϕ.
7. Die Schwingung einer Masse m an einer Feder mit der Federhärte D und der Dämpfungszahl
k wird durch die Gleichung m · ¨s(t) + k · ˙s(t) + D · s(t) = 0 beschrieben.
Zeigen Sie durch Ableiten und Einsetzen, dass die Funktion
k
−
s = s0 e 2mt ·sin(ωt) mit ω =
eine Lösung der Schwingungsgleichung ist:
D
m −
2 k
2m
Bemerkung zur Schreibweise: Mit ˙s(t) und ¨s(t) ist die erste und die zweite Ableitung
von s(t) nach der Zeit gemeint!
¨s(t) =
Einsetzen liefert:
˙s(t) = − k
k
−
s(t)+s0ωe 2m
2m t ·cos(ωt)
2 k k
−
s0 e 2m
2m
t ·sin(ωt)−2 k
2m ωs0
k
−
e 2mt ·cos(ωt)−ω 2 k
−
s0 e 2mt ·sin(ωt)
k
−
s0 e 2mt ·sin(ωt)·m·
D
m −
2 k
−ω
2m
2
= 0
8. Viele Größen in Naturwissenschaft und Technik sind zueinander direkt proportional.
Stellt man den Zusammenhang zweier solcher Größen graphisch dar, erhält man eine
Ursprungsgerade.
Bei Experimenten treten aber immer Messfehler auf, so dass die Messwerte (ai|bi)
in der Regel nicht exakt auf einer Gerade liegen. C. F. Gauß hat nun vorgeschlagen
die Steigung einer Ausgleichsgerade f(x) = mx so zu wählen, dass die Summe der
Fehlerquadrate (f(ai)−bi) 2 minimal wird.
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