SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

1.4 Stammfunktion und unbestimmtes Integral
4. (a) Beweise die Integralformel: cos 2 axdx = x 1
+
2 2a sinaxcosax+C
2 x
(b) Berechne den Mittelwert der Funktion f(x) = cos im Intervall [0,π].
2
Lösung: (a) Beweis durch Ableiten der rechten Seite (RS):
RS ′
x 1
= +
2 2a sinaxcosax+C
′
= 1 1
2 2
+ acos ax−asin ax =
2 2a
= 1
2
1−sin ax+cos
2
2 ax = cos 2 ax
(b) Mit a = 1
2
cos 2 ax
folgt aus der bewiesenen Integralformel:
f = 1
π
π
= 1
π
0
cos 2
1
2 x
dx = 1
x
π 2
π π
+sin
2 2
cos π
2
0
−0 = 1
2
1
+
2· 1 sin
2
x
π x
cos =
2 2
0
1.4 Stammfunktion und unbestimmtes Integral
1. Beweise: F und G mit F(x) = √ x+1 und G(x) =
nen der gleichen Funktion f.
x
1+ √ x+1
Lösung: Wir müssen zeigen, dass, F(x)−G(x) eine Konstante ist:
F(x)−G(x) = √ x
x+1−
1+ √ x+1 =
√ √
x+1(1+ x+1)−x
1+ √ =
x+1
√
x+1+x+1−x
=
1+ √ √
x+1+1
=
x+1 1+ √ = 1 q.e.d
x+1
Lösung:
2. Beweise:
x 2 cosaxdx = 2x
2 x 2
cosax+ −
a2 a a3
sinax+C
d 2x x2 2
cosax+ −
dx a2 a a3
sinax+C =
2 2x 2x
cosax− sinax+
a2 a a sinax+
20
sind Stammfunktio-
x 2 − 2
a2
cosax = x 2 cosax q.e.d