SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

5.8 Aus der Physik
3. Ein Zug bewegt sich im Zeitintervall [0h,4h] nach dem Zeit-Weg-Gesetz
x(t) = 10 km
h4 ·t4 −80 km
h3 ·t3 +160 km
·t2
h2 Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Geschwindigkeit v(t)! Zeichnen Sie die
Graphen von x(t) und v(t)!
Berechnen Sie die maximale Entfernung des Zuges vom Ausgangspunkt sowie seine
maximale Geschwindigkeit.
Lösung: v(t) = ˙x(t) = 40 km
h 4 ·t 3 −240 km
h 3 ·t 2 +320 km
h 2 ·t
a(t) = ˙v(t) = 120 km
h4 ·t2 −480 km
h3 ·t+320 km
h2 Nullstellen von x: t01 = 0, t02 = 4h
Nullstellen von v: t11 = 0, t12 = 2h, t13 = 4h
Nullstellen von a: t21 = 2+ 2
√
3 3 h, t22 = 2− 2
√
3 3 h
xmax = x(2h) = 160km, vmax = v(t21) = 640
9
√ 3 km
h
≈ 123 km
h
4. Zur Messung der elektrischen Stromstärke verwendet man in der Regel Drehspulinstrumente.
Der Strom fließt durch eine im Magnetfeld drehbar aufgehängte Spule,
die durch die magnetische Wirkung des Stroms ausgelenkt wird. In einem speziellen
Drehspulinstrument kann zwischen zwei Messmethoden gewählt werden:
I: Die Stärke des Magnetfeldes ist konstant und der Strom fließt nur durch die drehbare
Spule.
II: Das Magnetfeld wird durch eine stromdurchflossene Spule erzeugt, die mit der
drehbaren Spule in Serie geschaltet ist.
Der Zusammenhang zwischen Stromstärke I und Auslenkung x der drehbaren Spule
wird für x < 90◦ durch folgende Funktionsgleichung beschrieben:
x
II(x) = 0,04
cos(x) bzw. III(x)
x
= 0,2 , I jeweils in A, x Maßzahl des
cos(x)
Winkels im Gradmaß.
(a) Für welche Ströme ist die Auslenkung mit der ersten Methode größer?
(b) Welche Ströme müssen jeweils fließen, damit man die Auslenkungswinkel 10 ◦ ,
20 ◦ , 40 ◦ , 60 ◦ und 80 ◦ erhält?
(c) Zeichnen Sie die Funktionen für x ∈ [0; 90 ◦ [.
(d) Unter der Empfindlichkeit eines Stromstärkemessgerätes versteht man den Quotienten
∆x
. Erklären Sie, warum diese Definition sinnvoll ist.
∆I
Formulieren Sie einen Zusammenhang zwischen der Ableitung I ′ (x) der Funktion
und der Empfindlichkeit.
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