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5.7 Anwendungen in der Geometrie
5.7 Anwendungen in der Geometrie
5.8 Aus der Physik
1. Licht fällt parallel zur y-Achse in
einen Parabolspiegel, dessen spiegelnde
Fläche durch
f(x) = bx 2
f(x) = bx 2
beschrieben wird. Wir betrachten
P
einen Lichtstrahl, der den Spiegel im g
Punkt A(a f(a)) trifft. Nach dem
Reflexionsgesetz schließen der einfallende
Strahl e und der reflektierte
Strahl g mit der Tangente t an
γ
t
τ
a x
Gf im Punkt A den gleichen Winkel ϕ ein. Beweisen Sie, dass jeder zur y-Achse
parallel einfallende Strahl die y-Achse im selben Punkt P(0 p) (dem Brennpunkt)
trifft und berechnen Sie p.
2 tanϕ
Benutzen Sie die trigonometrische Formel: tan2ϕ =
1−tan 2ϕ .
Lösung: tan(90 ◦ −α) = −tan(α−90 ◦ ) = − sin(α−90◦ )
cos(α−90 ◦ 1
= −−cosα =
) sinα tanα
Steigung von g: m = tanγ = tan(90 ◦ −2ϕ) = 1
tan2ϕ = 1−tan2 ϕ
2 tanϕ
tanϕ = tan(90 ◦ −τ) = 1
tanτ
1
=
f ′ 1
=
(a) 2ba
=⇒ m = ba− 1
4ba
Aus g(x) = mx+p und A ∈ g folgt
g(a) = ba− 1
a+p = ba
4ba
2 =⇒ p = 1
4b
Da p nicht von a abhängt, geht jeder zur y-Achse parallel einfallende Strahl durch P.
2. Ein Elektron in einer Fernsehröhre bewegt sich nach folgendem Weg-Zeit-Gesetz:
14 m
s(t) = 2·10
s2 ·t2 6 m
+3·10 ·t+5cm mit t ≧ 0
s
Welche Geschwindigkeit hat das Elektron beim Erreichen von s = 0,7m?
14 m m
Lösung: v = ˙s = 4·10 ·t+3·106 , s(t1) = 0,7m =⇒ t1 = 5·10
s2 s
−8 s
7 m
v(t1) = 2,3·10
s
198
y
e
ϕ ϕ
ϕ
A